Дополнительные формальные понятия

Теория систем – аксиоматическая математическая теория, в рамках которой разрабатываются концептуальный аппарат и эффективные методы исследования систем произвольной природы.

Отображение множества А в множество В – это функция f, однозначно ставящая в соответствие каждому элементу множества А (a ∈ A) элементу множества В (f(a) ∈ B).

Обозначается: f:A → B или A х B или A f → B.

Гомоморфизмом множеств называется отображение множества А в множество В, если выполняется условие (а1, а2, …, аk) ⇒ (f(a1), f(a2),…, f(ak)) (каждому элементу множества А соответствует элемент множества В).

Изоморфизм множеств – это взаимно однозначный гомоморфизм, т.е. (а1, а2, …, аk) ⇔ (f(a1), f(a2),…, f(ak)) (каждому элементу множества А соответствует элемент множества В, а каждому элементу множества В соответствует элемент множества А).

Модель – это изоморфизм множества А в множество Ψ(пси), где:

А- множество фиксированных элементов предметной области с их связями и отношениями;

Ψ - абстрактное множество, задаваемое кортежем:

Ψ= 〈{М}, Р1, Р2, …, Рn〉, здесь

{M} –множество элементов модели, соответствующих элементам

предметной области, называемое носителем модели;

Р1,Р2, …,Рn – предикаты, отображающие наличие того или иного

свойства или отношения между элементами предметной области.

Предикат – логическая функция (высказывание), определенная для предметной области и принимающая значение либо истинности, либо ложности.

Одноместный предикат (свойство) – Р(х). Читается – «х имеет свойство Р».

Многоместный предикат (отношение) – R(x,y). Читается – «x находится в отношении R с y».

Для краткости записи логических высказываний (предикатов) используются кванторы общности ∀ и существования ∃. Тогда ∀x – «для любого x, для каждого x», ∃x- «существует, по крайней мере один x …, найдется хотя бы один x …».

Пример: пусть Z – множество людей (zi ∈ Z), Y – множество характеристик людей (yij ∈Yj), Pj – свойство отличия от всех по характеристике j, тогда высказывание

∀zi∃yij P(yj), формально читаемое как «для любого z найдется хотя бы один у, обладающий свойством Р» неформально можно интерпретировать как высказывание «все люди разные».

Вопросы для самопроверки

Вопросы для самопроверки

1. Основные понятия теории множеств

2. Подмножества. Отношение включения

3. Способы задания множеств

4. Операции над множествами.

5. Упорядоченное множество

6. Соответствие и функции

7. Прямое произведение множеств

8. Отображения и функции

9. Дополнительные формальные понятия

10. Вопросы для самопроверки