Операции над множествами. Упорядоченное множество

1. Объединение множеств

Объединение множеств X и Y — это множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств X или Y, т.е. принадлежат X или принадлежат Y.

Объединение X и Y обозначается через X∪Y

Формально x∈X∪Y ⇔ x∈X или x∈Y

Пример 2. Если X={1,2,3,4,5} и Y={2,4,6,7,8}, то

X∪Y=

Пример 3. Если X — множество точек левого круга и Y — множество точек правого круга, то

X∪Y — заштрихованная область, ограниченная обоими кругами.

Понятие объединения можно распространить и на большее число множеств, на систему множеств. Обозначим через М=1,X2,...,Xn} совокупность n множеств X1,X2,...,Xn, называемую иногда системой множеств. Объединение этих множеств

∪Xi=∪(X∈M), Х=1∪X2∪...∪Xn

представляет собой множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств данной системы М.

Очевидно, что X∪∅ = X. Отсюда можно видеть, что ∅ играет роль нуля в алгебре множеств.

2. Пересечение множеств

Пересечение множеств X и Y — это множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству X, так и множеству Y.

Пересечение множеств обозначается X∩Y. Формально x∈X∩Y ⇔ x∈X и x∈Y

Пример 4. X={1,2,3,4,5} Y={2,4,6,8} X∩Y = {2,4}

Пример 5. Если Х — множество точек левого круга, а Y — множество точек правого круга, то X∩Y представляет собой заштрихованную область, являющуюся общей частью обоих кругов.

Множества X и Y называются непересекающимися (дизъюнктными), если они не имеют общих элементов, то есть если X∩Y=∅.

Говорят, что множества X и Y находятся в общем положении, если выполняются три условия:

1. существует элемент множества X, не принадлежащий Y;

2. существует элемент множества Y, не принадлежащий X;

3. существует элемент, принадлежащий как X, так и Y.

Аналогично объединению понятие пересечения можно распространить на систему множеств:

∩X=i=1∩X2∩...∩Xn

3. Разность множеств

Разность множеств определена только для двух множеств. Разностью множеств X и Y называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат X и не принадлежат Y.

Обозначается: X\Y.

Формально: x∈X\Y ⇔x∈X и x∉Y

Пример 6. (см. Пример 1) X={1,2,3,4,5}, Y={2,4,6,8}, X\Y={1,3,5}, Y\X=

Разность множеств не обладает свойством коммутативности.

X\Y≠Y\X

Если A\B=∅, то A⊂B — поставить? обратно

при A∩B≠∅

4. Разбиение множества

Одной из наиболее часто встречающихся операций над множествами является операция разбиения множества на систему подмножеств.

Так, система курсов данного факультета является разбиением множества студентов факультета; система групп данного курса является разбиением множества студентов курса.

Пример. Продукция предприятия: — высший сорт, I, II, брак.

Рассмотрим некоторое множество M и систему множеств

М = {X1, X2,..., Xn}

Система множеств M называется разбиением множества M, если она удовлетворяет следующим условиям:

Любое множество X из M является подмножеством множества М

∀X∈M: X⊆M;

Любые два множества X и Y из М являются непересекающимися

∀X∈М, ∀Y∈M: X≠Y → X∩Y=∅.

Объединение всех множеств, входящих в разбиение, дает множество M

X1∪X2∪...∪ Xn=

5. Упорядоченное множество

Упорядоченным множеством (или кортежем) называется последовательность элементов, то есть совокупность элементов, в которой каждый элемент занимает определенное место. Сами элементы — компоненты кортежа.

Пример 7: Множество людей, стоящих в очереди, множество слов в фразе, алфавит. Во всех этих множествах место каждого элемента является вполне определенным и не может быть произвольно изменено.

Число элементов кортежа называется его длиной. Обозначают кортеж скобками «< >», иногда круглыми «()». А=1, a2,..., an>. Кортежи длины 2 называются упорядоченными парами, 3 — тройками, n-ками.

Частный случай: кортеж длины 1 — <a>

кортеж длины 0 — < > или ⊥ — пустой кортеж.

Отличие кортежа и обыкновенного множества: в кортеже могут быть одинаковые элементы.

Упорядоченные множества, элементами которых являются вещественные числа, будем называть векторами или точками пространства (n-мерного).

Так, кортеж <a1, a2> может рассматриваться как точка на плоскости или вектор, проведенный из начала координат в данную точку. Тогда компоненты a1, a2 — проекции вектора на оси 1 и 2.

Пр1 <a1, a2> =1, Пр2 <a1, a2> =2, Прi <a1, a2, a3>=i, Пр12 <a1, a2, a3>=1, a2> — двухэлементный кортеж. Проекция кортежа на пустое множество осей — пустой кортеж.

Обобщая эти понятия, будем рассматривать упорядоченное n-элементное множество вещественных чисел (a1,..., an) как точку в воображаемом n–мерном пространстве (иногда называемом гиперпространством), или как n-мерный вектор. При этом компоненты n-элементного кортежа а будем рассматривать как проекции этого кортежа на соответствующие оси.

Прi a =i, i=

Прi,j,...,l a =i, aj,..., al>, i=

Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и соответствующие координаты их равны.

<a1,..., am> =1,..., bn> ⇔ m = n и a1 =1, b1 =2,...

Компонентами кортежа (вектора) могут быть также компоненты кортежи (векторы):

Пример 8 Слова в предложении,

A = < <a1, a2>, <a1, a3>, <a2, a3> >

6. Прямое произведение множеств

Прямым (декартовым) произведением множеств X и Y называется множество, состоящее из всех тех и только тех упорядоченных пар, первая компонента которых принадлежит множеству X, а вторая принадлежит множеству Y. Формально: X*Y = {<x,y>: x∈X, y∈Y}

Пример 9. Пусть X=<1,2>, Y=

Тогда X*Y={<1,1>,<1,3>,<1,4>,<2,1>,<2,3>,<2,4> }

Пример 10. A={a,b,c,d,e,f,g,h}, B={1,2,3,...,8}

Тогда A*B =1, a2, a3,..., h7, h8} — множество обозначающее все 64 клеток шахматной доски.