Оптимизация векторного критерия. Парето-оптимальные решения

Рассмотренные выше способы принятия решений управлением производством предполагают, что критерий или критерии оценки должны представлять собой обобщающую формулировку конечной цели деятельности предприятия.

В этом случае, критерий оценки производством является основой построения системы показателей (f1, f2, …,fN), характеризующих процесс производства. Иногда единичные показатели могут быть объединены в один или несколько комплексных с учетом их важности (например, за счет весовых коэффициентов) и определяют приоритет показателей.

На практике имеет место, когда приоритет показателей установить трудно или невозможно. Тогда среди множества альтернатив X следует искать ту х*, которая лучше всех других альтернатив по всему набору показателей одновременно.

Дело осложняется тем, что в подобных случаях часто возникает ситуация, когда, например, х1 лучше х2 по показателю f1, но хуже по показателю f2, какую альтернативу считать лучшей? Для систематизации рассуждений при выборе альтернатив в подобных условиях, когда нет информации о приоритетах показателей, целесообразно использовать методы принятия решений, основанные на понятиях векторного критерия и Парето-оптимальных решений.

Оптимизация векторного критерия при выборе альтернатив предполагает поиск такой х*, что:

(f1, f2, …,fN) → max,

где, как и раньше мы предполагаем сонаправленность частных показателей и считаем, что вместо max может быть min при соответствующем смысле показателей.

Сравни с выбором по всем предыдущим критериям - там везде мы получали какой-то агрегированный показатель F, сформированный из частных fl, f2,..., fn, а потом уже по нему выбирали лучшую альтернативу. Здесь такой F не вводится, т.е. весь набор частных (или единичных) показателей рассматривается как единое целое.

В подобной задаче выделяют два этапа принятия решения:

1. сначала из множества X отбираются Парето-оптимальные решения Хр,

2. потом уже ЛПР, возможно привлекая дополнительные сведения, с учетом собственных предпочтений выбирает х* из Хр.

Как правило множество Хр много меньше, чем X, поэтому выбирать из него уже значительно проще.

Поясним, что такое Парето-оптимальные решения (еще называют - эффективные решения, деноминируемые решения), проведя аналогию с обычными оптимальными решениями при одном показателе. Пусть имеется только один показатель, по которому сравниваются альтернативы - F. Ясно, что оптимальной по этому показателю будет та альтернатива х*, для которой выполняется условие: F(x*) >= F(x) - оценка альтернативы по показателю лучше (или не хуже), чем оценки F у всех остальных альтернатив.

Аналогично и для векторного критерия - альтернатива Хр принадлежит множеству Парето-оптимальных, если выполняется условие:

(f1, f2.....fN)(Хр) >= (f1, f2.....fN)(х),

где - x не принадлежит Хр;

">=" - означает "больше или равно".

Эта запись означает, что для всех fi верно fi(ХP) >= fj(x) и есть хотя бы одни показатель fj такой, что fj(XP) > fj(x). В этом случае можно говорить, что ХР лучше (предпочтительнее), чем х, для чего будем использовать следующую запись: {Хр}: х.

Сами Парето-оптимальные решения являются между собой несравнимыми (по крайней мере по данному набору показателей).

Если, например, имеются х1р и х2р, то всегда при f(х1р) > f (х2Р) имеется и такой показатель, что fj(xlР) < fj(х2Р) - т.е. попытка улучшить решение по одному показателю приводит к ухудшению его по другому.

Общий алгоритм поиска Парето-оптимальных решений состоит в последовательном уменьшении исходного множества X:

1. Выбрать из множества X первую альтернативу х1 и сформировать множество х1 из X. Для этого сравнить х1 со всеми остальными альтернативами. Если есть такое решение х, что хх}х, то х не включаем в X. (т.е. оно заведомо не будет Парето-оптимальным).

Если после перебора не нашлось никакого х}х1, то х1 - включается в Хр. После перебора х1 уже не берется в рассмотрение на следующем шаге и, следовательно, не включается в X1.

2. Повторяем эти операции, взяв следующую альтернативу - х1 и сформировав на выходе множество Х1, из X2 и т.д.

Пример. Имеется несколько вариантов проекта станка (см. табл.). Каждый вариант оценивается по балльной шкале одинаковым набором показателей. Приоритет показателей неизвестен. Нужно найти Парето-оптимальные решения.

Исходные данные для задачи выбора вариантов проекта станка:

Алгоритм поиска Парето-оптимальных решений

1. Выберем вариант по «Надежности» - х1

2. Будем последовательно сравнивать х1 с вариантами х2, х3, х4, х5, х6, х7 по всем показателям. Если хотя бы один показатель варианта х1 по сравнению с вариантами хi будет меньше или равен, то исключаем эти варианты.

3. Выделим варианты: х2, х3, х4, х5, х6, х7

После этого шага мы имеем Х1 ={х2, х3, х6, х7} и Х1 является Парето-оптимальным, т.к. нет никого Х }Х1

4. Выберем из Х1 альтернативу х2. По сравнению с ней х6, х7 – не хуже, а х3 - даже предпочтительнее. Значит х2 не является Парето-оптимальным, Х2 ={х3, х6, х7}

5. Берем х3. Сравниваем х6, х7. Альтернатива х7 включается в Х3. Следовательно, из Х}Х3 х3 является Парето-оптимальным.

6. Множество Х3 составляет всего одну альтернативу х7.

Таким образом, Парето-оптимальных решений составляют: ХР ={х1, х3, х7}