Доказательство. Выпишем произведение чисел кратных p

1) n!=1∙2∙3… p …2∙ p …3∙ p … kp … n.

Выпишем произведение чисел кратных p,

p ∙2 p ∙3 p ∙…∙ kp = .

а все остальные числа не содержат p.

kp ≤ n, k ≤ ,

k – наибольшее целое не превосходящее . Значит .

2) Повторим рассуждения с k! Тогда выделится , но

и так далее продолжим наши рассуждения до .

Далее будут 0, так как

.

Итак,

.