Операции над множествами

С уществуют несколько основных операций над множествами, с помощью которых можно строить новые множества.

Объединением двух множеств А и В называется новое множество, содержащее все элементы из А и все элементы из В.

Пересечением двух множеств А и В называется новое множество, состоящее из тех элементов, которые принадлежат обоим множествам.

Разностью двух множеств А и В называется новое множество,содержащее те элементы из А, которые не принадлежат множеству В.

Если класс объектов, на которых определяются различные множества обозначитьU(универсум), то дополнением множества А называют разность .

Симметрической разностью множеств А и В называется множество, содержащее все элементы А, не принадлежащие В, и все элементы В, не принадлежащие А.

Операции над множествами могут быть проиллюстрированы на диаграммах Эйлера-Венна (см. рисунок 1 - 5).

Рисунок 1 – Объединение множеств Рисунок 2 – Пересечение множеств

Рисунок 3 – Разность множеств Рисунок 4 – Дополнение множества

Рисунок 5 – Симметрическая разность множеств

Указанные операции обладают нижеследующими свойствами(законы алгебры множеств).

1. Идемпотентность (удаление одинаковых операндов):

1) ; 2) .

2. Коммутативность (перестановка операндов):

1) ;2) .

3. Ассоциативность (возможность бесскобочной записи).

1) ; 2) .

4. Дистрибутивность (раскрытие скобок):

1) ; 2) .

5. Законы (правила) де Моргана:

1) ; 2)

6. Законыпоглощения:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

7. Закондвойного отрицания: .

11. .

12. .

13. .

Одним из способов конструирования новых объектов из уже имеющихся множеств является декартово произведение множеств.

Пусть А и В - множества. Выражение вида (a, b), где и , называется упорядоченной парой. Равенство вида (a, b)=(c, d) означает, что a = c и b = d. В общем случае, можно рассматривать упорядоченную n-ку из элементов . Упорядоченные n-ки иначе называют наборами или кортежами.