Рассмотрим установившееся движение в трубопроводе, для которого справедливы предположения об одномерности течения. Для этого выделим в трубопроводе (рис. 3.2) сечениями 1-1 и 2-2, в которых движение равномерное, контрольный объем , ограниченный контрольной поверхностью , которая показана на рисунке штриховой линией. Запишем для выделенного объема закон изменения кинетической энергии (1.6.20):
. (3.2.1)
Рис.3.2. К выводу уравнения Бернулли для одномерных напорных потоков
Первое слагаемое равно нулю, так как движение жидкости установившееся . Второе слагаемое - второе слагаемое представляет собой поток кинетической энергии через контрольную поверхность . Следовательно:
Рассмотрим граничные условия на , учитывая одномерность потока во входном и выходном сечениях:
(3.2.2)
Тогда:
Здесь - объемный расход, а величина носит название коэффициента Кориолиса, физический смысл которого будет показан ниже.
Рассмотрим далее члены в правой части уравнения (3.2.1), начнем со слагаемого, выражающего мощность внешней массовой силы. Предположим, что внешняя массовая сила имеет потенциал, т.е. существует такая скалярная функция , для которой . Ограничимся случаем, когда сила тяжести является единственной внешней массовой силой . Используя теорему Остроградского - Гаусса и граничные условия (3.2.2), получим:
|
|
. (3.2.3)
Полученное равенство позволяет выразить мощность внешней массовой силы через поток потенциальной энергии, обусловленной этой силой, сквозь живые сечения.
Второй интеграл, выражающий мощность внешней поверхностной силы:
. (3.2.4)
В сечении 1 - 1 скорость имеет только нормальную составляющую , так как движение здесь равномерное или плавноизменяющееся. Чтобы вычислить скалярное произведение , зададим в произвольной точке живого сечения систему ортогональных координат (рис. 3.2), определяемую тремя единичными векторами , из которых - нормален к живому сечению, a и лежат в плоскости живого сечения. Проектируя на эти координатные оси векторы u и рn, находим:
,
Аналогичные вычисления выполним для живого сечения . На поверхности выполняется условие прилипания. Согласно полученным результатам, а также используя (3.2.2), на контрольной поверхности имеем условия:
(3.2.5)
Подставляя (3.2.5) в (3.2.4), получаем:
. (3.2.6)
Согласно равенству (3.2.6) мощность внешней поверхностной силы можно интерпретировать как поток, обусловленный этой силой потенциальной энергии потока сквозь живое сечение; плотность распределения этой энергии равна давлению р.
Последнее слагаемое в (3.2.1), выражающее мощность внутренних сил в пределах контрольного объема (диссипацию энергии), оставляем без преобразования.
|
|
Подставив полученные выражения, в исходное уравнение (3.2.1) и разделив все слагаемые на весовой расход , получим искомое уравнение Бернулли:
, (3.2.7)
где g = rg удельный вес, а слагаемое
, (3.2.8)
выражает отнесенную к весовому расходу мощность внутренних сил (диссипацию механической энергии в единицу времени) в пределах контрольного объема.
Если используется модель идеальной жидкости (трение между слоями жидкости отсутствует ), то уравнение Бернулли принимает вид:
В этом случае имеет место закон Бернулли, который гласит: При установившемся движении несжимаемой идеальной жидкости сумма геометрической, скоростной и пьезометрической высот вдоль линии тока остаётся постоянной.