Основные уравнения для двухфазных монодисперсных течений

Будем предполагать для простоты, что частицы к-фазы представляют собой неизменяемые твердые сферы, одинакового диаметра. Такие среды принято называть монодисперсными, а в случае если диаметр у частиц разный – полидисперсными. В основу, как и ранее, положим законы сохранения массы, импульса и энергии. Запишем их для Лагранжевого объема связанного с газом.

Закон сохранения массы для смеси в целом:

. (6.8)

Закон сохранения импульса для смеси в целом:

. (6.9)

Закон сохранения энергии для смеси в целом:

(6.10)

Члены, стоящие в левой части соотношений, представляют собой потоки массы, импульса и полной энергии “газа” частиц через границу s(t) подвижного объема w(t). Воспользуемся формулой дифференцирования по подвижному объему (2.7) и перейдем к Эйлерову объему

. (6.11)

. (6.12)

(6.13)

Так как обмен массой между фазами отсутствует, законы сохранения для газа и “газа” частиц примут вид:

, (6.14)

. (6.15)

Динамическое взаимодействие фаз – обмен импульсом меду фазами (частицы могут тормозится или ускорятся газом, и наоборот) можно трактовать как воздействие на газ объемной силы f_p пропорциональной плотности “газа” частиц r_p. Запишем уравнение движения отдельной частицы

После несложных преобразований с учетом (6.2) оно примет вид:

. (6.16)

Получим так же уравнение теплообмена частицы с газом, в предположении справедливости закона теплообмена Ньютона, отсутствия теплообмена излучением, постоянства температуры частицы по ее радиусу:

или преобразуя с учетом (6.7)

. (6.17)

Тогда законы сохранения импульса для газа и “газа” частиц могут быть записаны в виде:

. (6.18)

. (6.19)

Легко видеть, что суммирование полученных уравнений дает закон сохранения импульса для всей смеси (6.12). Аналогично получим законы сохранения энергии для газа и “газа” частиц

, (6.20)

. (6.21)

Таким образом, мы имеем две системы интегральных соотношений, связанных между собой источниковыми членами. Причем в соотношениях для “газа” частиц отсутствует “давление частиц”, так как в принятой модели динамический и энергетический обмен между частицами осуществляется только через газ. В последние десятилетия предлагаются такие модели. Введение “давления частиц” позволяет описать эффект динамического взаимодействия частиц между собой, который проявляется в областях с повышенной концентрацией к-фазы. В частности в так называемых пеленах – течениях типа струй из частиц, которые возникают за обтекаемыми двухфазным потоком твердыми поверхностями. Отсутствие в модели собственного “давления частиц”, в случае непрерывности параметров позволяет записать для “газа” частиц отдельно уравнения сохранения кинетической и внутренней энергии. Воспользуемся формулой Гаусса-Остроградского и учитывая произвольность w получим из (6.19)

умножим его скалярно на

Используя очевидное равенство

выведем уравнение сохранения кинетической энергии для “газа” частиц:

(6.22)

Интегрируя (6.22) по w и используя формулу Гаусса-Остроградского получим интегральный закон сохранения кинетической энергии для “газа” частиц:

. (6.23)

Вычитая его из (6.21) получаем закон сохранения тепловой энергии для “газа” частиц:

. (6.24)

Напомним, что последние два соотношения справедливы для течений без разрывов. Для того, что бы распространить их на течения с разрывами необходимо дополнить их соотношениями об обмене кинетической и тепловой энергией при переходе через скачок. Если такого обмена нет, то (6.23), (6.24) справедливы и для разрывных течений. Аналогично можно получить дифференциальные соотношения и для остальных законов сохранения:

, (6.25)