2015-02-04
479
Подынтегральная функция на отрезке a = 0 и b = 1 равна 
.
Находим шаг вычислений
.
Отсюда точки иртегрирования:
.
Тогда по формуле трапеций имеем
.
Ответ: 
.
Пример 18. Пользуясь формулой трапеций вычислить определённый интеграл
.
Пример 19. Пользуясь формулой трапеций вычислить определённый интеграл
.
Метод Симпсона. Если заменить график функции y = f (x) на каждом отрезке [ x I – 1; xi ] разбиения не отрезками прямых, как в методах трапеций и прямоугольников, а дугами парабол, то получим более точную формулу приближённого вычисления интеграла 
.
Предварительно найдём площадь S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком параболы y = ax 2 + bx + c (с осью симметрии, параллельной оси ординат Oy), сбоку – прямыми x = – h, x = h и снизу – отрезком [– h; h ].
Пусть парабола проходит через три точки 
, где 
– ордината параболы в точке x = – h; y 1 = c – ордината параболы в точке x = 0; 
– ордината параболы в точке x = h (рисунок 17.1).
Площадь S равна
. (17.1)
  |
Рисунок 16– К элементарной формуле парабол
Выразим эту площадь через h, y 0, y 1, y 2. Из равенств для ординат yi находим, что 
. Подставляя эти значения c и a в равенство (17.1), получаем
. (17.2)
Получим теперь формулу парабол для приближённого вычисления интеграла 
.
 |
Рисунок 17 – Приближённое вычисление интеграла по формуле Симпсона (парабол)
Для этого отрезок [ a; b ] разобьём на 2 n частей (отрезков) длиной 
точками 
.
В точках деления 
вычисляем значения подынтегральной функции f (x): 
, где yi = f (xi) (рисунок 17).
Заменяем каждую пару соседних элементарных криволинейных трапеций с основаниями, равными h, одной элементарной параболической трапецией с основанием, равным 2 n. На отрезке [ x 0, x 2] парабола проходит через три точки (x 0; y 0), (x 1; y 1); (x 2; y 2). Используя формулу (17.2), находим
.
Аналогично находим
Сложив полученные равенства, имеем
или
(17.3)
Формула (17.3) называется формулой парабол (или Симпсона).
Пример 20. Вычислить приближённо определённый интеграл 
, разбив отрезок [0; 2] на 4 части.
