Решение. a) по формуле прямоугольников

13 14 15 16 17 18 19

Имеем: f (x) = x ³,

;

(рисунок 18)

a) по формуле прямоугольников:

т. е.

b) по формуле трапеций:

т. е.

c) по формуле парабол:

т. е.

Точное значение интеграла

Абсолютные погрешности соответствующих формул таковы: a) 0.125; b) 0.25; c) 0.

Задача

Вычислить интегралы с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 равных частей. Все вычисления проводить с округлением до третьего десятчного знака.

Варианты

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 5. Ознакомление с численными методами решения обыкновенных дифференциальных уравнений (3 ч)

Цель работы – дать студенту возможность изучить алгоритмы и методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Теоретические сведения.

Обыкновенными дифференциальными уравнениями описать задачи движения системы взаимодействующих материальных точек, химической кинетики, электрических цепей, сопротивления материалов, спроса и предложения и многие другие.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее аргумент, функцию этого аргумента и производные этой функции до некоторого порядка включительно. Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком уравнения.

Различают обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) и дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП).

Решением дифференциального уравнения называют любую функцию, при подстановке которой в это уравнение получается тождество. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

Рисунок 19 – Ортогональная сетка

Построение численных алгоритмов решения уравнения (22.1) опирается на дискретизацию задачи.

Введём в области расчёта дискретный набор точек , в которых будет вычисляться приближённое решение.

Точки x_i будем называть узлами интегрирования или узлами сетки (рисунок 19), расстояние h между узлами – шагом интегрирования или шагом сетки. Совокупность всех узлов будем называть сеточной областью или просто сеткой узлов.

Также будем пользоваться другими обозначениями:

– совокупность искомых приближённых значений решения задачи в узлах сетки;

– совокупность значений правой части уравнения в узлах.

Различные совокупности величин, отнесённых к узлам сетки, называются сеточными функциями.

Для характеристики точности численных методов определим погрешность приближённого решения следующим образом:

где y (x_i) – значение точного решения в узле сетки.

Метод, по которому получено численное решение, является методом p -го порядка точности, если выполняется неравенство

Переходим к обсуждению конкретных методов получения приближённого решения задачи в узлах сетки.

Простейший способ их конструирования опирается на замену производной в левой части уравнения в окрестности каждого узла приближённым разностным отношением по формулам численного дифференцирования.

Метод Эйлера.

Заменяя в (22.1) производную в окрестности каждого i -го узла сетки разностным отношением, приходим к методу Эйлера:

(23.1)

Алгебраические соотношения между компонентами сеточной функции, которыми заменяются исходные дифференциальные уравнения в окресности каждого узла сетки, будем называть разностными уравнениями (соотношениями).

Замкнутую систему разностных уравнений вместе с дополнительными условиями (начальными или краевыми) называют разностной схемой. Таким образом, (23.1) – это разностная схема Эйлера.

Последовательные значения y_i вычисляются по формуле

, (23.2)

которая непосредственно следует из соотношения (23.1).

Метод Эйлера имеет очень простую геометрическую интерпретацию. Искомая интегральная кривая y (x) на отрезке [ a, b ] приближается к ломаной (рисунок 20), наклон которой на каждом элементарном участке [ x_i, x_i ₊₁] определяется наклоном интегральной кривой уравнения в точке (x_i, y_i).

К этому же методу можно придти, заменяя производную в уравнении (23.2) разностным отношением

Рисунок 20 – Интегральная кривая

Последовательные значения y_i в этом случае вычисляются по формуле

Однако при этом возникают некоторые трудности, связанные с тем, что искомая величина y_i входит в правую часть уравнения, причём, в общем случае, нелинейным образом. Эти трудности не принципиальны, достаточно вспомнить о методах решения нелинейных уравнений.

Например, можно предложить следующий итерационный процесс для вычисления приближённого решения в очередном i -м узле

Рисунок 21 – Начальный шаг метода Эйлера

Такого рода методы, в которых для вычисления приближённого решения в очередном i -м узле необходимо дополнительно решать некоторые уравнения (линейные или нелинейные), называются неявными методами. В противоположность этому методы, в которых приближённое решение в очередном i -м узле явно выражается через предыдущие значения y_i _–1, y_i _–2, …, называются явными методами. При этом, если для вычисления y_i используется только одно предыдущее значение y_i _–1, то метод называется одношаговым, а если несколько предыдущих значений – многошаговым. Таким образом, метод Эйлера является явным одношаговым методом (рисунок 21).

В основе метода Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения. Однако этот метод даёт одновременно и способ нахождения искомой функции в табличной форме.

Пусть дано дифференциальное уравнение y ' = f (x, y). Найти приближённое численное решение этого дифференциального уравнения, т. е. составить таблицу приближённых значений функции y = y (x), удовлетворяющей заданным начальным условиям

x	x ₁	x ₂	x ₃	x ₄	x ₅	x ₆	…	x_n
y	y ₁	y ₂	y ₃	y ₄	y ₅	y ₆	…	y_n

где – шаг таблицы.

Приближённо можно считать, что правая часть в y ' = f (x, y) остаётся постоянной на каждом из отрезков между точками деления. Метод Эйлера состоит в непосредственной замене производной разностными отношениями по приближённой формуле

; ;