Решение

i	xi	yi	yi' = yi – xi	Δ yi = hi · yi '
		1.5	1.5	0.375
	0.25	1.875	1.625	0.406
	0.5	2.281	1.781	0.445
	0.75	2.726	1.976	0.494
		3.22	2.221	0.555
	1.25	3.775	2.525	0.631
	1.5	4.407

По начальным данным заполним первую строку в столбцах 2 и 3.

Из уравнения вычисляем в столбце 4.

Рисунок 24 – Схема алгоритма метода Эйлера

К содержимому столбца 3 прибавляем содержимое столбца 5 этой же строки (вычисляем ), и результат записываем в столбец 3 следующей строки. Определяем и затем шаги повторяем до тех пор, пока не будет пройден весь отрезок.

Метод Рунге-Кутты. Рассмотрим метод Рунге – Кутта второго порядка (метод Эйлера – Коши).

В этом методе величины вычисляются по следующим формулам (рисунок 25):

,

.

Тогда

.

Обозначим

,

тогда

.

Геометрически это означает, что определяется направление интегральной кривой в исходной точке и во вспомогательной точке , а в качестве окончательного выберем среднее из этих направлений.

Рисунок 25 – Метод Эйлера-Коши

Пример 22. Решить методом Рунге – Кутта второго порядка дифференциальное уравнение с начальным условием y (0) = 1.3 на отрезке [0; 1].

Метод Рунге ‑ Кутта четвёртого порядка

В вычислительной практике наиболее часто используется метод Рунге-Кутта четвёртого порядка. Пусть функция y определяется дифференциальным уравнением y ' = f (x, y) при начальном условии y (x ₀) = y ₀. При численном интегрировании такого уравнения определяют четыре числа: k ₁, k ₂, k ₃, k ₄:

В этом методе величины вычисляются по следующим формулам:

Пример 23. Пусть дано дифференциальное уравнение с начальным условием y (0) = 1.5.

Найти с точностью ε = 0.01 решение этого уравнения методом Рунге – Кутта четвёртого порядка при x = 1.5.