Теорема (без доказательства). Если положительное приближенное число а имеет п верных десятичных знаков, то относительная погрешность этого числа не превосходит величину , деленную на первую значащую цифру данного числа, т.е.
где – первая значащая цифра числа а.
За предельную относительную погрешность числа a можно принять
Если число а имеет больше двух верных знаков, т.е. п ≥ 2, то практически справедлива формула
(1.8)
Пример. Какова будет предельная относительная погрешность, если вместо числа π использовать а = 3,14?
Решение. В нашем случае и п = 3, поэтому
Для решения обратной задачи определения количества верных знаков числа а, если известна его относительная погрешность, обычно пользуются приближенной формулой
где – абсолютная погрешность числа а (а > 0). Отсюда
(1.9)
Если
то число а имеет п верных знаков, что следует из формулы (1.6)
Пример. Приближенное число а = 24253 имеет относительную точность 1%. Сколько в нем верных знаков?
Решение. Исходя из абсолютной погрешности, определяемой формулой (1.9), запишем
|
|
Δ = 24253 ∙ 0,01 ≈ 243 = 2,43 ∙ 102.
В заданном числе а = 24253 первой значащей цифре 2 соответствует m = 4. Поэтому можем записать
или .
Из последнего неравенства следует, что оно может выполняться лишь при n = 2. Следовательно, в числе а будут верными лишь первые две цифры.
1.5. Погрешность суммы и разности приближенных чисел
Предельная абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближенных чисел равна сумме предельных абсолютных погрешностей этих чисел.
Пример 1. a1 = 25,74 ± 0,02; a2 = 96,42 ± 0,03; a1 + a2 = 122,16 ± 0,05,т.е. | ΔΣ | = | Δа1| + | Δа2| = 0,02 + 0,03 = 0,05.
Пример 2. и = 2,72 + 3,00 + 2,11 = 7,83;Δ и = 0,005+0,005+0,005=0,015.
Округляя до одного знака после запятой и учитывая погрешность округления, получим и = 7,8±0,015, т.е. в записи и = 7,8 все цифры верны.
Пример 3. Необходимо сложить два приближенных числа 265 и 32. Пусть предельная погрешность первого числа равна 5, а второго – 1. Тогда предельная погрешность суммы равна 6. Так, если истинное значение первого числа есть 270, а второго 33, то приближенная сумма будет 265 + 32 + 297, т.е. она на 6 единиц меньше истинной 270 + 33 = 303.
Пример 4. Найти сумму приближенных чисел
0,0909 + 0,0833 + 0,0769 + 0,0714 + 0,0667 + 0,0625 + 0,0588 +0,0556 + 0,0526.
Результатом сложения является число 0,6187. Поскольку предельная погрешность каждого слагаемого есть 0,00005, то предельная погрешность суммы будет 0,00005 9 = 0,00045. Значит, в последнем (четвертом) знаке суммы возможна ошибка до 5 единиц. Поэтому округляем сумму до третьего знака, т.е. до тысячных. В результате получаем число 0,619, в котором все три цифры являются верными.
При значительном числе слагаемых обычно происходит взаимная компенсация погрешностей. Поэтому истинная погрешность суммы лишь в исключительных случаях совпадает с предельной погрешностью или близка к ней. Иначе говоря, при значительном числе суммирования приближенных чисел их сумма, как правило, гораздо точнее слагаемых. Это происходит благодаря взаимной компенсации погрешностей суммируемых чисел.
|
|
Теперь рассмотрим погрешность разности двух приближенных чисел.
Исходя из понятия абсолютной величины любого числа, нетрудно заключить, что предельная абсолютная погрешность разности приближенных чисел также как и для суммы двух приближенных чисел, равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.
Пример 5. Пусть предельная погрешность приближенного уменьшаемого 85 равна 2, а предельная погрешность вычитаемого 32 равна 3. Предельная погрешность разности 85 – 32 = 53 есть 2 + 3 = 5. Действительно, истинные значения уменьшаемого и вычитаемого могут равняться 85 + 2 = 87 и 32 – 3 = 29. Тогда истинная разность будет 87 – 29 = 58. Она на 5 единиц отличается от приближенной разности, равной 53.
Однако надо иметь ввиду, что в противоположность сумме разность приближенных чисел может быть менее точной, чем уменьшаемое и вычитаемое отдельно взятые. Эффект «потери точности» особенно велик в том случае, когда уменьшаемое и вычитаемое мало отличаются друг от друга.
Пример 6. Измерение внешнего и внутреннего диаметров тонкостенной трубки дало результаты мм, мм. Вычислим по этим данным толщину стенки трубки. Предельная абсолютная погрешность уменьшаемого и вычитаемого одна и та же: 0,05. Относительная погрешность уменьшаемого и вычитаемого тоже примерно одинакова, а именно:
Толщина стенки трубки мм. Предельная абсолютная погрешность числа тоже будет 0,05, а относительная погрешность уже составит величину