Исследование переходных процессов в звеньях второго порядка

Цель работы: исследовать переходные процессы в звеньях второго порядка (апериодическом, колебательном и консервативном).

Общие положения

Звенья 2-го порядка описываются в динамике дифференциальными уравнениями 2-го порядка.

Характеристическое уравнение звена второго порядка:

В зависимости от соотношения коэффициентов характеристического уравнения, корни могут быть действительными, такое звено называется апериодическим звеном 2-го порядка; если корни комплексные, то звено называется колебательным; при звено называется консервативным.

Рассмотрим колебательное звено, описываемое следующим дифференциальным уравнением:

и, соответственно, имеющим передаточную функцию:

где – постоянная времени;

– резонансная частота;

– коэффициент демпфирования, степень затухания;

– передаточный коэффициент.

Запишем характеристическое уравнение:

или .

тогда корни его:

где – коэффициент затухания колебаний.

– собственная частота колебаний звена.

– период резонансных колебаний.

Если , то корни уравнения вещественные отрицательные и переходный процесс будет монотонным (рисунок 4.1 (1)) и определяется выражением:

где и – постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям. Т.е. звено является апериодическим 2-го порядка.

При – корни комплексные и, если , то переходный процесс представляет собой затухающие колебания (рисунок 4.2). Именно такое звено называется устойчивым колебательным.

Уравнение переходной характеристики имеет вид:

При – получаем мнимые корни .

Переходный процесс такого звена – незатухающие колебания с частотой и звено называю консервативным (рисунок 4.4).

Если , то вещественная часть корней характеристического уравнения становится положительной, а значит, звено будет неустойчиво, а вид переходного процесса опять будет определяться выражением . При действительных корнях – переходный процесс также будет представлять сумму экспонент, уходящих в ∞ при (рисунок 4.1 (2)).

При комплексных корнях с положительной вещественной частью получим расходящиеся колебания – неустойчивое колебательное звено (рисунок 4.3).

Рисунок 4.1 – Монотонный переходный процесс (1 – устойчивый; 2 – неустойчивый)

Рисунок 4.2 – Колебательный затухающий переходный процесс

Рисунок 4.3 – Колебательный расходящийся переходный процесс

Рисунок 4.4 – Колебательный незатухающий переходный процесс

Вид переходной характеристики h(t) зависит от коэффициента ξ. Следует помнить, что колебания возникают лишь в том случае, если корни характеристического уравнения являются комплексными величинами, т.е. если или .

Для устойчивого колебательного звена 0<ξ<1 и амплитуда колебаний затухает по экспоненте – по уравнению .

Для неустойчивого колебательного звена ξ<0, амплитуда колебаний с течением времени возрастает по уравнению .

Если корни характеристического уравнения действительные отрицательные, то звено является апериодическим 2-го порядка (т.е. при ξ>1) и может быть представлено в виде последовательного соединения двух апериодических звеньев с постоянными времени и .