Линеаризация уравнений

Одним из путей упрощения модели является линеаризация полученного уравнения, то есть переход к линейной математической модели объекта.

Конечной целью моделирования динамики процессов является использование моделей в системах управления для определения динамических характеристик. Поэтому любым способом надо найти решение уравнений. Линейные дифференциальные уравнения решаются сравнительно легко. Однако не всегда возможно описать поведение объекта линейным уравнением. Поэтому применяется аппроксимация нелинейных связей в заданном диапазоне аргументов линейными соотношениями. Другими словами, в заданном диапазоне входных аргументов нелинейные уравнения заменяются линейными – линеаризуются. В линейных объектах связи входных и выходных сигналов легко описываются с помощью передаточной функции.

Линеаризация обычно проводится путем разложения нелинейных зависимостей в ряд Тейлора в окрестности исходного стационарного режима с сохранением только линейных частей разложения и последующим вычитанием уравнений статики. С помощью этой процедуры получаются уравнения модели не относительно ее переменных, а относительно отклонений переменных от исходного стационарного режима. Такое преобразование дает возможность легко применить преобразования Лапласа для записи модели объекта в виде передаточных функций.

Полученная таким образом линейная модель объекта справедлива лишь при малых отклонениях от исходного стационарного режима. Решение уравнения при ступенчатом или импульсном изменении входной величины позволяет получить соответственно переходные функции (кривые разгона) или импульсные временные характеристики объекта. Решение часто проводится в области изображений Лапласа или Фурье. В этом случае получают соответственно передаточные функции или амплитудно-фазовые характеристики.