Содержание лекции:
- аналитические методы моделирования объектов с сосредоточенными параметрами.
Цель лекции:
- изучить на примерах основные методы аналитического моделирования объектов с сосредоточенными параметрами.
При составлении дифференциальных уравнений объектов с сосредоточенными параметрами обычно исходят из уравнений материального и теплового баланса.
Согласно первому из них изменение массы вещества в замкнутом объеме в единицу времени равно алгебраической сумме входных и выходных потоков
(5.1)
здесь: Di (i=1,k) – массовый расход входного i-го потока, Dj (j=1,r) - массовый расход выходного j-го потока, G – масса вещества в рассматриваемом объеме, t - время.
Аналогично, изменение энтальпии какого-либо тела в единицу времени равно алгебраической сумме тепловых потоков, подводящих (или отводящих) тепло к рассматриваемому телу
(5.2)
где Qi (i=1,k) – i-ый входной поток тепла, Qj (j=1,r) - j-ый выходной поток тепла, I – энтальпия тела.
Дать законченную теорию моделирования всех разновидностей процессов в их различных проявлениях не представляется возможным. Для иллюстрации применения основных естественнонаучных законов сохранения массы, движения, энергии в наиболее характерных процессах рассмотрим несколько примеров.
|
|
Пример 5.1. Моделирование объекта регулирования уровня жидкости в резервуаре.
Объектом исследования является резервуар с независимым Gn(t) притоком жидкости и зависимым стоком Gc(t). Последний определяется величиной уровня над сливным отверстием H и площадью проходного сечения сливного отверстия fc.
При составлении уравнений математической модели объекта используются:
- уравнение материального баланса системы:
(5.3)
- уравнение, отражающее закон сохранения движения; Gс не является независимой переменной, это функция М. В соответствии с законом гидродинамики поток из выходного отверстия определяется законом
(5.4)
здесь μ – кэффициент расхода, fc - площадь поперечного сечения выходного отверстия, g - ускорение свободного падения, H - уровень жидкости в резервуаре.
а) Требуется изучить поведение объекта в условиях равновесия, под которым будем понимать неизменность координат состояния (здесь Н и Gc) во времени. Нетрудно видеть, что при равновесии в резервуаре не будет происходить изменения количества вещества, то есть Следовательно, уравнение материального баланса будет выражено очевидным соотношением
С другой стороны, понятие равновесия с математической точки зрения выражается равенством нулю всех производных координат состояния
отсюда имеем .
А это, в свою очередь, означает, что
|
|
или .
В итоге можно записать
(5.5)
Подставляя (5.4) в (5.5) получим возможность вычислять положение уровня жидкости в баке
.
Таким образом, математическая модель системы, находящейся в равновесии, может быть представлена в виде
или
где - x1 = Gn, x2 = fc; y1 = Gc, y2 = H - переменные, P = - параметр модели.
Эта модель – статическая, название связано со статичным состоянием объекта, находящегося в равновесии.
б) Требуется изучить поведение бака с жидкостью в общем случае, снимая условия равновесия.
Количество жидкости в резервуаре, находящейся над плоскостью сливного отверстия, определяется из соотношения:
,
где F – площадь поперечного сечения резервуара, ρ – плотность.
Считая F и ρ постоянными, то есть принимая F=F0, ρ= ρ0 и подставляя вместо его выражение (5.4), получим дифференциальное уравнение:
. (5.6)
Это уравнение в обобщенной форме может быть записано следующим образом:
.
Соотношение (5.4) можно привести к обобщенной форме
.
В итоге система двух уравнений с двумя неизвестными:
(5.7)
является динамической моделью резервуара с жидкостью. При этом динамика связывается с изменением состояния системы.
В этом примере статическая модель является частным случаем динамической модели. Это обстоятельство не является обязательным. Чаще всего, два этих типа моделей дополняют друг друга.
в) Требуется получить линеаризованную динамическую модель резервуара с жидкостью, считая, что исходное состояние равновесия системы соответствует времени t0.
Для оценки значений координат состояния в начальном состоянии равновесия можно воспользоваться статической моделью. Тогда
.
Основную нелинейность в систему уравнений вносит соотношение (5.4). Разложим его в ряд Тейлора, ограничиваясь только линейными членами:
(5.8)
Определим коэффициенты ряда:
.
Принимая во внимание исходное состояние равновесия, будем в модели изучать только отклонения переменных от своих начальных значений, то есть:
(5.9)
Тогда:
.
Это уравнение является первым уравнением линеаризованной модели. Подставим результат линеаризации (5.8) в (5.6) и, имея ввиду, что
и
получим:
.
Используя обозначения:
y1 = ΔGс, y2 = ΔΗ, x1 = ΔGn и x2 = Δfc,
линеаризованную динамическую модель бака с жидкостью можно представить следующей системой уравнений:
в которой
.
Коэффициенты уравнений ki и T, являющиеся параметрами линеаризованной модели, зависят от состояния равновесия, предшествующего переходному процессу. Поэтому модель требует перенастройки ее параметров в случае изменения исходных состояний ( ) моделируемого объекта.
В случае необходимости моделирования объекта при существенном изменении крутизны характеристик переходят к их кусочно-линейной аппроксимации. При этом нелинейный объект описывается совокупностью линейных зависимостей и логических соотношений, определяющих зону действия каждого линейного выражения.