Упрощение уравнений динамики

Системы уравнений динамики, как правило, существенно нелинейны, и аналитическое решение их в общем виде невозможно. Поэтому в зависимости от специфики задач проводятся упрощения, направленные на исключение отдельных связей, накладываемых уравнениями и краевыми условиями. При этом должны сохраняться существенные черты процесса.

Наиболее простой (в смысле математического решения) является статическая задача. Производные по времени и координатам равны 0, и система дифференциальных уравнений сводится к алгебраической (стационарные режимы объектов с сосредоточенными параметрами).

Следующей по сложности является стационарная задача. В уравнениях производная по времени равна нулю, следовательно, уменьшается количество независимых координат (мы не рассматриваем анализ таких задач).

Упрощение математической формулировки нестационарных задач достигается за счет сокращения числа взаимодействующих систем, уменьшения количества уравнений, исключения некоторых связей в отдельных уравнениях, снижения числа пространственных координат и линеаризации уравнений.

Всякое исключение какого-либо дифференциального уравнения снижает порядок системы. То есть с математической точки зрения система оказывается незамкнутой. Исключенное уравнение необходимо заменить алгебраической зависимостью, приближенно отражающей ход процесса. Например, соответствующие параметры могут быть приняты постоянными.

Во многих практических случаях закономерности движения реального потока находятся на основе экспериментальных данных. При экспериментальном исследовании определяются некоторые коэффициенты, так или иначе отражающие реальную структуру потока, то есть распределения скорости, температуры, плотности и другие параметры. Это коэффициенты трения, теплоотдачи, относительные скорости фаз в двухкомпонентных смесях и т.д. Все они представляют собой интегральные характеристики потока, которые с определенным приближением отражают обмен количеством движения, теплотой, веществом, существующий в реальном потоке. С помощью указанных коэффициентов и усредненных по сечению потока параметров, выражаются передача теплоты, гидравлическое сопротивление, распределение фаз. Связи между ними также находятся из опыта.

Использование эмпирических коэффициентов и упомянутых зависимостей позволяет отказаться от учета реальной трехмерности потока и одни уравнения упростить, а другие – исключить совсем. Такие упрощения допустимы, так как эмпирические зависимости в определенной мере отражают реальную трехмерность потока.

В результате указанных посылок для расчета динамических характеристик можно использовать одномерную модель, а в некоторых случаях – и модель с сосредоточенными параметрами.

В одномерных моделях параметры изменяются лишь вдоль одной координаты, направленной вдоль оси потока. По сечению канала параметры постоянны и равны среднему значению.

В моделях с сосредоточенными параметрами все параметры системы не зависят от пространственных координат и являются лишь функциями времени. Производные по пространственной координате заменяются отношением разности значений функций между входом и выходом к полной длине канала.

В устойчивых системах переходные процессы протекают одинаково во всех однотипных параллельно включенных элементах. Это дает возможность при исследовании переходных процессов рассматривать не всю систему в целом, а один из элементов. Например, при исследовании динамики многоканальных теплообменников рассматривать движение в одном канале.