Общий подход к определению непараметрической модели

Ранее отмечалось, что в параметрическом случае модель определяется набором параметров, которые необходимо оценить в процессе идентификации. Непараметрическая модель определяется в общем случае непрерывной функцией, но она может быть задана точками или в виде разложения в ряд по какой-либо системе функций, и тогда мы будем иметь параметрический случай.

Специфика линейного динамического объекта однозначно определяется его реакцией на единичное импульсное воздействие. Это обстоятельство и лежит в основе определения непараметрической модели, которая характеризуется импульсной (весовой) переходной функцией.

Преимущества определения переходной функции: простота измерения, малое время измерения, простота обработки сигнала, простота пробного сигнала. Недостатки: низкая точность.

На практике чаще используется импульсная переходная функция. В стационарном случае (рассматриваемом нами) эта функция зависит только от одного переменного – времени:

g =g(t), 0 <= t <∞.

Задание этой функции однозначно определяет поведение линейной системы y(t) при возмущении x(t) следующим образом:

(15.1)

где x(t) = 0 при t < 0 (Это выражение носит название интеграла свертки).

Из формулы (15.1) видно, что для определения импульсной переходной функции g(t), строго говоря, необходимо иметь измерения входа объекта x(t) за все время его существования, то есть в пределах от t=0 до t= ∞. Однако весовая функция устойчивых систем, которые целесообразно рассматривать, обладает следующим очевидным свойством:

lim g(t) = 0.

t ∞

Физически это означает, что устойчивая система после импульсного воздействия всегда возвращается в исходное состояние. Поэтому нет необходимости интегрировать в (15.1) до бесконечности, достаточно до T_g,для которого имеем

при t>T_g,

то есть весовая функция, начиная с момента T_g, не выходит из 100α-процентного коридора (обычно α = 0.05).

Теперь интеграл свертки можно записать в виде:

Ранее рассматривались методы определения динамических характеристик исследуемого объекта при помощи подачи на вход искусственного возмущения определенного типа (импульсного, ступенчатого, синусоиды) и замера реакции.

Эти методы часто неприменимы по следующим причинам:

- нежелательность или невозможность подать на вход объекта возмущающего воздействия специального вида, так как это ведет к нарушению нормального хода процессов в объекте;

- очень часто на эти воздействия накладываются неконтролируемые возмущения, поэтому невозможно определить динамические характеристики по типовым входным сигналам.

Поэтому рассмотрим метод, основанный на статистических представлениях. Статистический метод позволяет в качестве источника информации использовать случайные естественные сигналы идентифицируемого объекта. При этом может возникнуть ряд погрешностей, так как вероятность того, что случайные сигналы имеют необходимый частотный спектр, очень мала. Для реализации статистического метода требуется большой объем вычислений, что вызывает необходимость применения компьютеров.

При статистическом методе идентификации широко используются корреляционные и спектральные функции. Имеются и другие характеристики описания случайных функций (функции распределения), но их применение к задачам идентификации объектов ограничено.