Определение корреляционных функций сигналов

Для оценок корреляционных функций надо выполнить большое число экспериментов, записать в каждом из них реализации случайной функции, затем в каждом сеченииt определить среднее значение случайной функции. То есть определить среднее по реализациям.

Желательно определять статистические характеристики случайных процессов в результате не многих, а одного опыта, то есть оценить в среднем по времени на [0, T].

Стационарная случайная функция, для которой среднее по времени совпадает со средним по множеству, называется эргодической (по отношению к математическому ожиданию или корреляционной функции). Гипотеза эргодичности позволяет заменить усреднение по ансамблю усреднением одной реализации по времени.

Среднее значение произведения значенийдвух случайных процессов в различные моменты времени t₁ иt₂ = t₁ + τ называют корреляционной (иногда автокорреляционной) функцией. Для стационарного случайного процесса корреляционная функция зависит лишь от τ = t₂ - t₁:

(15.2)

причем R_xx(τ) =R_xx(-τ).

Корреляционная функция характеризует степень связи между значениями случайного процесса в различные моменты времени. По мере увеличения интервала времени τкорреляционная функция убывает – связь между более удаленными друг от друга во времени значениями случайного процесса уменьшается. При τ = 0 (t₁ = t₂) для центрированного случайного процесса значение корреляционной функции равно дисперсии.

Среднее значение произведения значений двух случайных процессов для различных моментов времени t₁ и t₂ = t₁ + τназывают взаимнойкорреляционной функцией. Для стационарных случайных процессов взаимная корреляционная функция зависит только от τ = t₂ - t₁:

(15.3)

Взаимная корреляционная функция характеризует степень связи между значениями двух случайных процессов в различные моменты времени. С увеличением интервалаτ значение взаимной корреляционной функции также убывает.

Ввиду того, что объем измерений ограничен вместо этих функций используют их оценки:

(15.4)

где 0≤τ≤T_R, T_R – период времени, который определяется из условия, что при

τ > T_R корреляционная функция не выходит из заданного (обычно 5%) коридора: │R(τ)│ ≤ 0.05R_max (корреляцию меньше 5% естественно считать несущественной).

Очевидно, что T_Rразлично для R_xx(τ) иR_xy(τ). Но так как нас интересуют динамические свойства объекта, а они отражаются в R_xy(τ), то можно считать, что T_R=T_Rxy. Таким образом, исходная информация преобразуется к паре корреляционных функций: < , , 0≤τ≤T_R>.

При вычислениях с помощью компьютеров, интервалT разбивается на N равных отрезков длиной ∆t, τ и принимают дискретные значения, кратные ∆t:

τ = k·∆t, k = 0, 1, 2, 3…, t = k_t ·∆, k_t =1, 2, 3…

Тогда интеграл можно заменить приближенно следующей суммой:

Чаще используется следующая формула:

(15.5)

k=0,1,…, N, – интервал сдвига (k=0, …, N-1), N – число измеряемых координат корреляционной функции, x – среднее значение х на интервале.

Точность определения корреляционной функции по (15.5) определяется длительностью интервала наблюденияT, максимальным временем корреляцииτ_max, шагом квантования по времени ∆t, числом ординат корреляционной функции, определяемых на интервале 0<=τ<=τ_max. Под максимальным временем корреляции понимается такое τ, начиная с которого

|R(τ)|<= 0,05·R_max.

Общая схема определения корреляционной функции:

1. Реализации исследуемых случайных процессов центрируются.

2. Производится предварительный частотный анализ, в результате которого грубо оценивается высшая f_max и низшаяf_min гармоники в исследуемых сигналах.

3. Определяется максимальное время корреляции сигнала:

τ_max=.

Выбирается интервал вычисления корреляционной функции в соответствии с требуемой точностью. Так, для определения корреляционной функции с точностью 2% для центрированных реализаций случайного процесса

T ≈16·τ_max

На основании теоремы Котельникова выбирается шаг квантования по времени:

∆t <= .

Выбирается количество уровней квантования. Для точности 2% - 14 уровней.

4. Оценивается число вычисляемых координат .