Уравнение Винера-Хопфа для определения импульсной переходной функции

Для объекта с одним входом и одним выходом, описываемого линейным уравнением с постоянными коэффициентами, входное воздействие x(t) и реакция y(t) связаны уравнением свертки

(16.1)

x(t) = 0 при t <0, y(t) =v(t)+ε_y(t), x(t) = u(t)+ε_x(t), v(t) и u(t) – истинные значения сигналов, ε_x(t), ε_y(t) - помехи, возникающие при эксперименте.

Определение импульсной переходной функции непосредственно из уравнения свертки нежелательно в силу следующих причин: интегральные уравнения вида (16.1) являются уравнения Вольтерра (первого или второго рода), которые плохо обусловлены и для получения корректного решения необходимо применение специальных методов регуляризации. Кроме того, в результате измерений значения случайных процессов на входе и выходе объекта получаются с большими погрешностями, которые необходимо сгладить.

При стационарном случайном возмущении исходным уравнением для получения статистическим методом импульсной переходной функции является уравнение, аналогичное (16.1), но связывающее корреляционные функции. Выведем это уравнение.

Автокорреляционная функция входа

(16.2)

И взаимно-корреляционная функция входа и выхода

(16.3)

Будем считать, что корреляции помех во входах и выходах отсутствуют, помехиε_x(t), ε_y(t) независимы и являются белым шумом. Тогда можно не считаться с наличием помех измерений, то есть R_xx(τ) ≈ R_uu(τ),R_xy(τ) ≈ R_uv(τ).

Ради этого и рассматривается корреляционный подход, который позволяет минимизировать влияние помех. Напомним, что мы ищем оператор объекта по минимуму среднеквадратичного отклонения, которое является математическим ожиданием функции потерь. Корреляционная функция – тоже второй центральный момент.

Имеем выражение (16.3), но y(t) связан сx(t) уравнением (16.1):

Отсюда

(16.4)

- уравнение Винера-Хопфа.

Это уравнение можно интерпретировать как уравнение (16.1), если рассматривать R_xx(t) как входное воздействие, а R_yx(t) - как реакцию. Идентификация сводится к решению уравнения (16.4) в промежутке [0,T]. Но так как g(t) – затухающая функция, то есть при то, начиная с некоторого момента времени T_g ее значения неинформативны. Обычно T_g определяют до идентификации. Например, можно определить время T_R, начиная с которого |R(τ)|<= 0.05R_{max .} ЭтоT_R различно для R_xx(t) и R_yx(t). Но так как нас интересуют динамические свойства объекта, а они отражаются в R_yx(t), тоT_R определяют поR_yx(t).

Таким образом, задача определения динамических характеристик разбивается на следующие этапы:

1. Запись случайных процессов на входе и выходе объекта.

2. Вычисление корреляционной функции входного сигнала и взаимно-корреляционной функции входного и выходного сигналов.

3. Определение параметра T_R.

4. Решение интегрального уравнения (16.4).

Итак, привели задачу определения импульсной переходной функции к решению уравнения Винера-Хопфа. Рассмотрим методы решения уравнения Винера-Хопфа.