2015-02-04
1094
Теорема Каратеодори о выпуклой оболочке утверждает, что для любой точки выпуклой оболочки подмножества евклидового пространства найдётся содержащий её невырожденный симплекс с вершинами в этом подмножестве. О конформном отображении областей с переменными границами - один из основных результатов теорииконформных отображений областей с переменными границами; получен К. Каратеодори.
Пусть дана последовательность односвязных областей В п, п= 1,2,..., плоскости z, содержащих фиксированную точку z0, 
Если существует круг | z- z0|<r, r>0, принадлежащий всем областям В п, тоядром последовательности В п, n = 1, 2,..., относительно точки z0 наз. наибольшая область В, содержащаяточку z0 и обладающая тем свойством, что для всякого компакта Е, принадлежащего В, существует такоечисло N, что Епринадлежит областям В п при 
Наибольшая область понимается в том смысле, чтоона содержит любую другую область, обладающую тем же свойством. Если указанного круга не существует,то под ядром Впоследовательности В n, п= 1, 2,..., понимается точка z0 (в этом случае говорят, чтопоследовательность областей В п, n =1, 2,..., имеет вырожденное ядро). Последовательность областей В п,n =1, 2,..., сходится к ядру В, если любая последовательность из В п имеет своим ядром также В.
|
|
|
Теорема Каратеодори. Пусть дана последовательность функций z=fn(x), fn(x0)=z0, f'n (x0) >0, n=1, 2,...,регулярных и однолистных в круге |z-z0| <1 и отображающих |z-z0| <1 соответственно на области В п. Для тогочтобы функций fn (z), n=1, 2,..., сходились в круге |x-x0| <1 к конечной функции f(x), необходимо и достаточно,чтобы последовательность областей В п, n =1, 2,..., сходилась к ядру В, к-рое есть либо точка z0, либообласть, имеющая более одной граничной точки. При этом сходимость равномерна внутри круга |x-x0|<1.Если предельная функция 
то она однолистно отображает круг |x-x0| <1 на ядро В, а обратные функции jn(z), n= 1,2,..., равномерно сходятся внутри к функции j(z), обратной к f(x).
