Понятие компактности множества. Точная нижняя грань и точная верхняя грань

Компактное множество- подмножество Мтопологич. пространства Xтакое, что каждая бесконечная последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся к нек-рой точке х ₀ пространства X. Если то Мназ. компактным в себе множеством. Оно является компактным пространством виндуцированной из Xтопологии. Обратно, всякое К. м. метрич. пространства является в такой топологиикомпактным пространством. Множество, замыкание к-рого - К. м., наз. относительно компактныммножеством. Мажоранта или верхняя грань (граница) числового множества — число , такое что Миноранта или нижняя грань (граница) числового множества — число , такое что Точной (наименьшей) верхней гранью (границей), или супре́мумом (лат. supremum — самый высокий) подмножества упорядоченного множества (или класса) , называется наименьший элемент , который равен или больше всех элементов множества . Другими словами, супремум — это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается .Более формально: — множество верхних граней , то есть элементов , равных или больших всех элементов

Точной (наибольшей) нижней гранью (границей), или инфи́мумом (лат. infimum — самый низкий) подмножества упорядоченного множества (или класса) , называется наибольший элемент , который равен или меньше всех элементов множества . Другими словами, инфимум — это наибольшая из всех нижних граней. Обозначается .

Эти определения ничего не говорят о том, принадлежит ли и множеству или нет.

В случае , говорят, что является максимумом , то есть .

В случае , говорят, что является минимумом , то есть

Следует отметить, что приведенные определения точных граней являются непредикативными (ссылающимися на самих себя) определениями, поскольку определяемое понятие в каждом из них является элементом множества, через которое оно определяется (см. подробнее в Impredicativity). Сторонники конструктивизма в математике выступают против использования таких определений, не допуская либо различными методами устраняя элементы "порочного круга" в рамках своих теорий.

Теоре́ма Вейерштра́сса в математическом анализе и общей топологии гласит, что функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и д В частном случае функций действительной переменной (который обычно излагается в учебниках матанализа), теорема формулируется так:

Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на нем и притом достигает своих минимального и максимального значений, т.е. существуют такие, что для всех

В силу полноты действительных чисел существует (конечная или бесконечная) точная верхняя грань . Поскольку - точная верхняя грань, существует последовательность такая, что . По теореме Больцано — Вейерштрасса из последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность , предел которой (назовем его ) также принадлежит отрезку . В силу непрерывности функции имеем , но с другой стороны . Таким образом, точная верхняя грань конечна и достигается в точке .