double arrow

Приближённое вычисление определённых интегралов

Рассмотрим задачу о приближённом нахождении значения определённого интеграла

Относительно подынтегральной функции f(x) мы будем предполагать, что она непрерывна на отрезке интегрирования, а также, когда это понадобится, что она имеет на этом отрезке производные до некоторого порядка. Вычислять значение интеграла мы будем по значениям функции f(x) в некоторых точках отрезка xi. Эти значения yi=f(xi.) мы будем предполагать известными, то есть предполагать, что у нас есть некоторый эффективный способ вычисления значений функции с любой требуемой точностью. Формулы, позволяющие по известным значениям yi приближённо определить значение , называются квадратурными формулами.

Для наглядности мы будем прибегать к геометрической интерпретации смысла определённого интеграла, как площади некоторой криволинейной трапеции, в случае функции f(x) . Следует, однако, иметь в виду, что квадратурные формулы, которые мы будем получать, имеют смысл для функций, принимающих значения произвольного знака.

При f(x) вычислить интеграл значит найти площадь под графиком y=f(x), расположенную над отрезком . . Естественной идеей является следующее построение: разобьём отрезок на части точками деления x1, x2, … xn-1 и положим x0=a и xn=b (см. определение значения определённого интеграла). Тогда разбиение отрезка . состоит из отрезков при i=1,2…n. Вместо площади под графиком, равной , будем приближённо находить суммарную площадь узких полосок, лежащих над отрезками разбиения (см. рис.1).

Рис.1.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: