2015-02-04
517
Снова рассмотрим отрезки разбиения 
, где i=1,2…n. и x0=a и xn=b, выберем в качестве точек разметки середины каждого из этих отрезков, то есть точки
(Мы будем эти середины обозначатьxi-1/2.) Возьмём за приближённое значение интеграла интегральную сумму, построенную по такому размеченному разбиению. Каждое слагаемое в этой сумме, равное
выражает площадь прямоугольника с основанием ,и высотой, равной значению функции в середине этого отрезка (см. рис.3):
Рис.3.
Получим тогда квадратурную формулу:
называемую формулой центральных прямоугольников.
Если взять все отрезки разбиения равной длины 
, то эта квадратурная формула принимает вид
Заметим, что в этом случае 
Для выяснения характера ошибки 
, возникающей при замене 
на IR, заметим, что если функция f(x) дифференцируема, то прямоугольник площади S 
равновелик трапеции, верхней стороной которой служит касательная к графику y= f(x), проведённая при 
(см. рис.4):
Рис.4.
Действительно, заштрихованные на рисунке треугольники равны, отчего равны площади прямоугольника 
и трапеции 
.
Отсюда следует, что если функция f(x) имеет вторую производную, то при 
график является выпуклым кверху и IR>I (так как из чертежа видно, что площадь трапеции, равная Si, больше площади под графиком функции, а при график является выпуклым книзу и IR<I. Значит, при 
на 
. 
получаем 
, а при — 
.
