Квадратурные формулы левых и правых прямоугольников

Самый простой метод приближённого вычисления площадей узких полосок — заменить их площадями S_i прямоугольников, основанием которых служит отрезок на оси , а высотой — отрезок, задающий значение функции в одном из концов основания, то есть либо в точке x_i-1, либо в точке x_i. Тогда в первом случае площадь Si равняется f(x_i-1)(x_i- x_i-1), а во втором

S_i= f(x_i)(x_i- x_i-1).

Суммируя по всем отрезкам разбиения, то есть по от до , получаем в первом случае квадратурную формулу левых прямоугольников:

а во втором случае квадратурную формулу левых прямоугольников:

Рис.2.

Из приведённого чертежа ясно, что ошибки и , которые возникают при замене точного значения интеграла на его приближённое значение I_l или I_r соответственно, обладают такими свойствами:

если функция f(x) возрастает на . , то , поскольку I>I_l;

если функция f(x) убывает на . , то , поскольку I<I_l;

если функция f(x) возрастает на . , то , поскольку I<I_r;

если функция f(x) убывает на . , то , поскольку I>I_r.

Таким образом, в случае монотонной функции f ошибки и имеют разные знаки. Возникает желание взаимно скомпенсировать эти ошибки (хотя бы частично), взяв полусумму чисел I_l и I_r за приближённое значение интеграла. Получаем при этом такую квадратурную формулу:

Как мы впоследствии увидим, полученная квадратурная формула в точности совпадает с формулой трапеций. Она часто применяется на практике для вычисления интеграла благодаря своей простоте. Сами же формулы для I_l и I_r, из которых она возникла, на практике применяются чрезвычайно редко ввиду своей малой точности: ошибки и слишком значительны даже при достаточно мелких разбиениях. Большую точность обеспечивает следующий метод, применение которого ничуть не сложнее.