double arrow

Квадратурные формулы левых и правых прямоугольников


Самый простой метод приближённого вычисления площадей узких полосок — заменить их площадями Si прямоугольников, основанием которых служит отрезок на оси , а высотой — отрезок, задающий значение функции в одном из концов основания, то есть либо в точке xi-1, либо в точке xi. Тогда в первом случае площадь Si равняется f(xi-1)( xi- xi-1), а во втором

Si= f(xi)( xi- xi-1).

Суммируя по всем отрезкам разбиения, то есть по от до , получаем в первом случае квадратурную формулу левых прямоугольников:

а во втором случае квадратурную формулу левых прямоугольников:

Рис.2.

Из приведённого чертежа ясно, что ошибки и , которые возникают при замене точного значения интеграла на его приближённое значение Il или Ir соответственно, обладают такими свойствами:

если функция f(x) возрастает на . , то , поскольку I>Il;

если функция f(x) убывает на . , то , поскольку I<Il;

если функция f(x) возрастает на . , то , поскольку I<Ir ;

если функция f(x) убывает на . , то , поскольку I>Ir.

Таким образом, в случае монотонной функции f ошибки и имеют разные знаки. Возникает желание взаимно скомпенсировать эти ошибки (хотя бы частично), взяв полусумму чисел Il и Ir за приближённое значение интеграла. Получаем при этом такую квадратурную формулу:

Как мы впоследствии увидим, полученная квадратурная формула в точности совпадает с формулой трапеций. Она часто применяется на практике для вычисления интеграла благодаря своей простоте. Сами же формулы для Il и Ir , из которых она возникла, на практике применяются чрезвычайно редко ввиду своей малой точности: ошибки и слишком значительны даже при достаточно мелких разбиениях. Большую точность обеспечивает следующий метод, применение которого ничуть не сложнее.

Заказать ✍️ написание учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Сейчас читают про:
Поможем в написании
> Курсовые, контрольные, дипломные и другие работы со скидкой до 25%
3 569 лучших специалисов, готовы оказать помощь 24/7