2015-02-14
460
Лекция №1-21
Общая алгебра – это раздел математики, в котором изучаются множества с определенными в них алгебраическими операциями.
Алгебраические операции
Определение.
Пусть дано множество M объектов произвольной природы. Алгебраической операцией, определенной в М будем называть функцию f, которая каждой упорядоченной паре элементов a,b 
M ставим в соответствие некоторый определенный элемент c М.
В определении алгебраической операции имеется требование, чтобы результат операции, выполненный на всякой паре элементов множества М, тоже принадлежал множеству М, это так называемый постулат замкнутости множества относительно алгебраической операции (или замкнутости операции).
С этой точки зрения нельзя, например, вычитание натуральных чисел или деление действительных чисел считать алгебраической операцией. Для обозначения алгебраической операции употребляется обычно вместо записи f(a,b) более удобная a f b, или, заменяя знак функции f каким-либо другим, например, 
и тому подобное.
|
|
|
Рассмотрим примеры алгебраических операций.
1). Алгебраическими операциями являются: обычное сложение в N, Z, Q, R, C, а так же обычное умножение в каждом из этих множеств. Обычное вычитание так же является алгебраической операцией в Z, Q, R, C, но не в N. Обычное деление чисел не является алгебраической операцией ни в каком из этих множеств, но если рассматривать множества Q, R, C каждое без нуля, то в этих множествах деление уже будет алгебраической операцией.
2). Рассматриваем множество V всех векторов трехмерного, евклидова пространства. Сложение векторов будет алгебраической операцией в V, вычитание тоже. Алгебраической операцией будет так же векторное умножение векторов. Скалярное произведение не будет алгебраической операцией так как в этом случае результатом действия является не вектор, а действительное число.
Определение 1.
Алгебраическая операция 
, определенная на множестве М, называется коммутативной, если для любых a,b M, a b = b a.
