Множество Z можно разбить на классы чисел сравнимых между собой по модулю m и называемых классами вычетов по модулю m. Каждый класс вычетов имеет вид
,
так что
.
Каждым двум классам и независимо от выбора в них представителей k, l можно сопоставить классы, являющиеся их суммой или произведением, то есть на множестве классов вычетов по модулю m однозначным образом индуцируются операции и :
Так как определения этих операций сводятся к соответствующим операциям над числами из классов вычетов, то есть над элементами из Z, то { Zm, , } будет так же коммутативным кольцом с единицей . Оно называется кольцом классов вычетов по модулю m. Итак мы показали, что конечные кольца существуют. Приведем три примера, указывая отдельно таблицы сложения и умножения:
+ | ||
∙ | ||
+ | |||
∙ | |||
+ | ||||
∙ | ||||