Кольца и поля

Определение.

Пусть К – не пустое множество, на котором заданы две бинарные алгебраические операции «+» (сложение) и «» (умножение), удовлетворяющие следующим условиям:

1). (К, +) – абелева группа;

2). (К, ) – полугруппа;

3). операции (+) и () связаны дистрибутивными законами (другими словами, умножение дистрибутивно по сложению).

(a+b)c=ac+bc, c(a+b)=ca+cb a,b,c К.

Тогда (К,+, ) называется кольцом. Структура (К, +) называется аддитивной группой кольца, (К, ) – его мультипликативной полугруппой. Если (К, ) – моноид (полугруппа с 1), то говорят, что (К,+, ) - кольцо с 1.

Единичный элемент кольца принято обозначать 1. Существование 1 часто вносится в определение кольца. В приложениях и в общей теории колец рассматриваются алгебраические структуры, в которых аксиома 2 либо совсем устраняется, либо заменяется другой, в зависимости от конкретной задачи. В таких случаях говорят о не ассоциативных кольцах. Подмножество L кольца К называется подкольцом, если х,у L х-у L, ху L, то есть если L подгруппа аддитивной группы и подполугруппа мультипликативной полугруппы кольца. Кольцо называется коммутативным, если