Определение

Пусть и (К', , )– кольца. Отображение f:К К' называется гомоморфизмом, если оно сохраняет все операции, то есть если

, f(b).

При этом, конечно, f(0)=0'и f (na) = nf (a), n Z.

Ядром гомоморфизма f называется множество

.

Ясно, что Кer f - подкольцо в К. Как и в случае групп гомоморфизм f: К в К' называется мономорфизмом, если Кer f = 0. Эпиморфизмом, если образ совпадает сК', то есть

.

Изоморфизмом, если отображение f мономорфно и эпиморфно.

Факт изоморфизма колец кратко записывают в виде . Отображение является эпиморфизмом Z в Z_m с ядром Кer f=mZ. Если рассматривать только кольца с 1, то в определение гомоморфизма f: К К', целесообразно ввести условие .