Теорема 1. Нетривиальное коммутативное кольцо К с единицей является целостным тогда и только тогда, когда в нем выполнен закон сокращения

Нетривиальное коммутативное кольцо К с единицей является целостным тогда и только тогда, когда в нем выполнен закон сокращения

ab = ac, a 0, b c a,b,c K.

В самом деле, если в К имеет место закон сокращения, то из

аb = 0 = а0 либо а=0, либо а 0, но b=0.

Обратно: если К область целостности, то

ab = ac, a 0 a(b - c) = 0 b – c = 0 b = c.

В кольце К с единицей естественно рассматривать множество обратимых элементов. Элемент а называется обратимым или делителем 1, если существует элемент а^-1 для которого ^-1 = 1 = . Точнее следовало бы говорить об элементах обратимых справа или слева (ab=1 или ba=1), но в коммутативных кольцах, а так же в кольцах без делителей нуля, эти понятия совпадают. Действительно, ab=1 aba=a, откуда

a(ba-1)=0, так как а 0, то ba-1=0, ba=1.

Например, в кольце М_n обратимый элемент это в точности матрицы с отличным от нуля определителем.

Обратный элемент a не может быть делителем 0

ab=0 a^-1(ab)=0 (a^-1a)b=0 b=0 (аналогично ba=0 b=0).