Задача № 5. Полагая, что длина изготавливаемой детали есть нормально распределённая случайная величина с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением

Полагая, что длина изготавливаемой детали есть нормально распределённая случайная величина с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением , найти вероятность того, что длина наугад взятой детализаключена в интервале .

В каких границах (симметричных относительно ) будет заключена длина наугад взятой деталис вероятностью 0,95?

Решение.

Пусть случайная величина – длина изготавливаемой детали.

1) Найдём вероятность того, что примет значение из интервала .

Вероятность попадания в заданный интервал нормально распределённой случайной величины вычисляется по формуле: , где

– функция Лапласа,

– математическое ожидание случайной величины ;

– среднее квадратическое отклонение.

.

По таблице значений функции Лапласа находим: , .

Значит вероятность того, что примет значение из интервала :

.

2) Вероятность заданного отклонения нормально распределённой случайной величины

вычисляется по формуле: , где – функция Лапласа,

– математическое ожидание случайной величины ;

– среднее квадратическое отклонение.

Определим, в каких границах (симметричных относительно ) будет заключена длина наугад взятой деталис вероятностью 0,95.

Для этого из равенства , то есть выразим :

; , откуда по таблице значений функции Лапласа

; ; .

Таким образом, точность длины (т.е. отклонение от её среднего значения), которую можно гарантировать с вероятностью 0,95, составляет . Следовательно, длина наугад взятой деталис вероятностью 0,95 будет заключена в следующих границах (симметричных относительно ):

Ответ: ; длина наугад взятой деталис вероятностью 0,95 будет заключена в интервале .