Задача № 4. Одна из случайных величин задана законом распределения

Одна из случайных величин задана законом распределения


	0,2	0,3	0,5

а другая имеет биномиальное распределение с параметрами , . Составить закон распределения их разности. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение.

Дискретная случайная величина имеет биномиальный закон распределения с параметрами и , если она принимает значения с вероятностями , где , , ;

– число сочетаний из элементов по .

Биномиальный закон распределения с параметрами и представляет собой закон распределения числа наступлений события в независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью .

Ряд распределения биномиального закона имеет вид:

				…		…
				…		…

Математическое ожидание случайной величины , распределённой по биномиальному закону, , а её дисперсия .

В нашем случае биномиальный закон распределения имеет параметры и , то есть случайная величина принимает значения с вероятностями , где , , .

;

Таким образом, заданный закон биномиального распределения случайной величины имеет вид:


	0,36	0,48	0,16

Найдём закон распределения случайной величины .

Разностью случайных величин и называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида , где , , с вероятностями того, что случайная величина примет значение , а – значение : . Если случайные величины и независимы, то по теореме умножения вероятностей независимых событий .

Для удобства нахождения всех значений разности и их вероятностей составим вспомогательную таблицу, в каждой клетке которой поместим в левом верхнем углу значения разности , а в правом нижнем углу – вероятности этих значений, полученные в результате перемножения вероятностей соответствующих значений случайных величин и (в нашем случае случайные величины и независимы).


	0,36	0,48	0,16
0,2	0,072	0,096	0,032
0,3	0,108	0,144	0,048
0,5	0,18	0,24	0,08

Так как среди 9 значений имеются повторяющиеся, то соответствующие вероятности их складываем по теореме сложения вероятностей:

; ;

Таким образом, закон распределения случайной величины имеет вид:


	0,032	0,144	0,216	0,188	0,24	0,18

Убеждаемся в том, что сумма вероятностей всех возможных исходов равна 1.

Действительно, .

Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

			…
			…

Математическое ожидание дискретной случайной величины , закон распределения которой имеет вид, вычисляется по формуле .

В нашем случае .

Дисперсия характеризует степень изменчивости значений случайной величины относительно её математического ожидания. Дисперсию дискретной случайной величины определим по формуле:

, где .