Выбор основной системы. Канонические уравнения метода сил

Основная система метода сил получится путем удаления в заданной раме четырех «лишних» связей. Рассмотрим несколько возможных вариантов основных систем. Так как заданная рама упруго симметрична то будем выбирать только симметричные схемы вариантов основных систем, соблюдая основные требования о геометрической неизменяемости и статической определимости таких систем. При этом в некоторых из вариантов воспользуемся группировкой неизвестных на симметричные и кососимметричные, что приведет в дальнейшем к упрощению системы канонических уравнений.

Первый вариант (рис. 2,а) получен путем врезания шарниров в опорные узлы и удаления продольных связей в элементах нижнего ригеля рамы. За «лишние» неизвестные приняты моменты в опорных узлах «0» и «4» и продольные силы в стержнях «0 – 5» и «4 – 5». После группировки получим: Х₁ , Х₂ – симметричные неизвестные; Х₃, Х₄ – кососимметричные.

Этот вариант основной системы симметричен (обладает вертикальной осью симметрии), статически определим (не имеет «лишних» связей) и геометрически неизменяем, так как представляет собой балочную раму с жесткими узлами. При этом элементы нижнего ригеля соединены с рамой шарнирами и линейными связями, направление которых не пересекает эти шарниры. Таким образом, основные требования, предъявляемые к основной системе метода сил, соблюдены.

Второй вариант (рис. 2,б) получен путем врезания двух шарниров в опорные узлы и одного двойного шарнира в узел «2» верхнего ригеля заданной рамы. Введение шарниров в жестких узлах соответствует удалению связей, препятствующих взаимному повороту смежных сечений стержней, сходящихся в этих узлах. Поэтому за «лишние» неизвестные приняты моменты Х₁ – Х₄. Так как узел «2» находится на оси симметрии рамы, то после введения шарнира в этот узел неизвестные Х₂ и Х₄ сразу разделились соответственно на симметричное и кососимметричное. В опорных узлах «0» и «4», которые не лежат на оси симметрии, такое разделение возможно только после группировки неизвестных на Х₁ -симметричное и Х₃ – кососимметричное. Этот вариант основной системы также удовлетворяет основным требованиям. Он представляет собой трехшарнирную раму с затяжкой, которая является геометрически неизменяемой и статически определимой.

Третий вариант (Рис. 2,в) получен путем отбрасывания «лишних» связей, препятствующих вертикальному и горизонтальному перемещению смежных с узлом «5» сечений стержней рамы, сходящихся в этом узле (удален двойной шарнир). Вместо удаленных связей приложены неизвестные усилия Х₁ –Х₄, Которые разделились на симметричные Х₁, Х₂ и кососимметричные Х₃, Х₄.

Условие эквивалентности каждого из вариантов основной системы с заданной описывается системой канонических уравнений, которая с учетом использования парных неизвестных (симметричных и кососимметричных) разделяется на две независимые системы:

Рис. 2

(1.1)

(1.2)

Запись этих уравнений в матричной форме имеет вид:

; (1.3)

; (1.4)

где ;

- матрицы коэффициентов канонических уравнений (матрицы податливости);

;

- матрицы-столбцы (вектора) неизвестных;

;

- матрицы-столбцы (вектора) грузовых перемещений.

При решении задачи, о построении эпюр внутренних сил в раме (рис. 1,а) от заданной симметричной нагрузки, во всех вариантах основных систем кососимметричные неизвестные будут равны нулю (Х₄=Х₃=0). Следовательно, заданная система может быть рассчитана как система с двумя симметричными неизвестными, которые можно определить, решая систему канонических уравнений (1.3).

При решении же задачи о построении линий влияния «лишних» неизвестных и внутренних усилий в заданном сечении система канонических уравнений, с учетом ее разделения на две независимые, приобретает следующий вид:

; (1.5)

, (1.6)

где - матрицы коэффициентов, которые идентичны матрицам в уравнениях (1.3) и (1.4);

- матрицы неизвестных, содержащие столько столбцов, сколько положений единичной силы на верхнем ригеле рамы рассматривается в расчете;

- матрицы грузовых перемещений, элементами которых являются перемещения по направлению неизвестных от воздействия движущейся силы F=1 при ее расположении в фиксированных сечениях верхнего ригеля рамы.

Таким образом, обе задачи имеют одинаковый подход при раскрытии статической неопределимости заданной рамы. Однако во второй задаче потребуется осуществить решение обеих систем канонических уравнений (1.5) и (1.6), так как при произвольном расположении силы F=1 все неизвестные (симметричные и кососимметричные) будут отличны от нуля (см. пункт 3 настоящих методических указаний).

Все три варианта, выбранных ранее основных систем, могут быть использованы. Однако для дальнейшего расчета примем третий вариант, так как построение единичных и грузовых эпюр моментов для этого варианта будет наиболее простым.