2015-02-14
1054
Узловые перемещения рамного конечного элемента в локальной системе координат 
выражаются через глобальные узловые обобщенны перемещения 
и углы α и β рис.4.1 в виде
Рис. 4.1. Преобразование на плоскости узловых перемещений рамного конечного элемента
В матричной форме это преобразование запишем так
где
(4.2)
Направляющие косинусы локальной оси 
определяются глобальными координатами узлов
(4.3)
(4.4)
где
(4.5)
длина элемента.
Матрица жесткости конечного элемента в глобальной системе координат преобразуется с учетом выражения (4.1) и зависимости для потенциальной энергии элемента, которая не зависит от выбора системы отсчета:
тогда
(4.6)
Аналогично преобразуется и матрица масс конечного элемента 
, на основании того, что кинетическая энергия элемента не зависит от направления осей координат, по аналогии с потенциальной энергией получим:
(4.7)
Узловые силы и моменты, приложены к узлам рамы, которые задаются в глобальной системе координат, в преобразованиях не нуждаются.
Силы, заданные в локальной системе отсчета для каждого элемента должны быть приведены к глобальной системе отсчета. Распределенные нагрузки приведенные к узловым силам в локальной системе координат совершают возможную работу на глобальных возможных перемещениях
,
где узловые силы в локальной системе отсчета равны
Выразим глобальные перемещения через локальные по уравнениям (4.1):
,
учитывая
,
или
,
тогда
,
Коэффициенты в выражении возможной работы при вариациях обобщенных координат 
есть вклад в обобщенные силы от распределенных внешних нагрузок
(4.8)
Добавляя в выражение (4.8) вклад сил заданных в глобальной системе отсчета и объединяя уравнения равновесия для всей совокупности конечных элементов, получим уравнения равновесия системы при статической задаче:
(4.9)
И уравнения динамического равновесия для движения всей конструкции:
(4.10)
Рассмотрим, как формируется матрица жесткости и уравнения равновесия для механической системы, содержащей рамные конечные элементы (рис. 4.2), к которой приложены распределенные силы интенсивности p=400 Н/м и сосредоточенные сила F=700 Н и момент M=200 Н 
м. Известны размеры 
Без учета закрепления узлов необходимо ввести 24 обобщенных перемещений (по три на каждый из 8 узлов). Матрица жесткости для такой системы будет иметь размер 24 
24, а матрица каждого элемента, приведенная к глобальной системе координат, имеет размер 
Таким образом, конечные элементы, узлы которых совпадают должны вносить общий суммарный вклад в соответствующие элементы матрицы жесткости, причем шарнирно-соединенные элементы получают в точке соединения разные глобальные номера узлов. Это обусловлено тем, что углы поворота таких узлов разные.
Рис. 4.2 Рама с номерами узлов: 1...8 и номерами стержней 1...5 (в окружностях)
Рис. 4.3 Нумерация глобальных обобщенных координат для трех первых элементов с указанием в скобках номеров внутренней нумерации
В качестве исходных данных для формирования матрицы жесткости потребуется координатная матрица для узлов и топологическая матрица для конечных элементов. Координатная матрица – это таблица, которая содержит информацию о номере узла и его координатах, а также о способе его закрепления и приложенных сосредоточенных силовых воздействиях. В соответствии с количеством узлов выбирается число обобщенных перемещений.
Для конструкции рисунка 4.2 с учетом размеров 
координатная матрица имеет вид таблицы 4.1.
Таблица 4.1
