2015-02-14
1228
Метод конечных элементов предусматривает задание форм перемещений не по всей длине стержня, а лишь на отдельных участках длины h (Рис. 3.1), на которые разбивается стержневая система:
Рис. 3.1. Выделение элемента длины h.
В пределах каждого участка для случая для случая изгиба стержня формы перемещений задаются кубическим полиномом:
(3.1)
Рис. 3.2. Нумерация перемещений в пределах элемента
Учитывая, что:
Если выразить 
через прогибы и углы поворота на краях рассматриваемого элемента, то получим:
Подставляя 
в выражение (3.1) имеем
Вынесем обобщенные координаты за скобки как общие множители и сформируем произведение матриц
, (3.2)
В компактной форме
где q – вектор-столбец обобщенных перемещений, которыми являются перемещения узловых точек на границе элементов по ортогональным направлениям
- одномерные функции Эрмита:
Функции Эрмита удовлетворяют следующим условиям:
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
;
Каждая из функций Эрмита определяет изгиб жестко заделанной балки, которая получила единичное смещение по соответствующему направлению. Эти единичные смещения показаны на рисунке 3.3.
Выражения (3.2) можно представить в виде
;
Обозначим
Тогда
(3.3)
Рис. 3.3. Единичные смещения по обобщенным перемещениям
Равновесие элемента в обобщенных координатах имеет вид
где
- обобщенные силы от внутренних сил упругости элемента,
- обобщенные силы от внешних активных сил.
Чтобы получить обобщенные силы от внутренних сил упругости и матрицу жесткости для балочного элемента, запишем выражение потенциальной энергии внутренних сил элемента:
; (3.4)
где
(3.5)
E- модуль упругости материала балки, I- момент инерции сечения элемента.
Обобщенные силы от внутренних сил упругости выражаются через потенциальную энергию
Обозначим как матрицу жесткости элемента
После вычисления интеграла и подстановки матрицы 
получим
После перемножения матриц имеем:
(3.6)
Обобщенные силы от внутренних сил упругости примут вид
(3.7)
где 
– вектор-столбец обобщенных перемещений.
Обобщенные силы от внешних активных воздействий на элемент определим через возможную работу на обобщенных перемещениях
(3.8)
где в соответствии с (3.3) вариация поперечного перемещения
,
а проекция распределенной нагрузки на поперечное направление к оси элемента при линейном законе распределения выражается через ее узловые значения 
:
, (3.9)
при
,
.
(3.10)
где
,
Рис. 3.4. Интенсивность воздействия распределенных сил на рамный (балочный) конечный элемент
Тогда
. (3.11)
Коэффициенты в выражении возможной работы при соответствующих вариациях обобщенных координат 
называются обобщенными силами, то есть
(3.12)
где 
- значения распределенной нагрузки в узловых точках.
В выражение (3.12) необходимо добавить сосредоточенные узловые активные силы, в проекции на направление обобщенных перемещений.
Вернемся к условию равновесия в обобщенных координатах, представив его в виде
,
Тогда для конечного элемента оно выглядит так:
(3.13)
При решении динамической задачи уравнения составляем на основе уравнений Лагранжа второго рода:
(3.14)
где T – кинетическая энергия механической системы, которую необходимо выразить через обобщенные координаты:
,
где m – масса единицы длины стержневого элемента.
Выразим скорости точек элемента через обобщенные координаты и функции Эрмита, получим:
(3.15)
Под интегралом в выражении (3.15) стоит квадратная матрица:
После вычисления интеграла получаем выражение кинетической энергии через произведение обобщенных скоростей и матрицы масс [ M ] размером 4 
4.
, (3.16)
где 
Вычисляя производные в левой части уравнений Лагранжа второго рода (3.14), получим:
и с учетом соотношения (3.7) запишем
(3.17)
Уравнение (3.17) определяет модель движения упругой динамической системы под действием внешних переменных сил.
