double arrow

Формирование матриц жесткости и масс конечного элемента при исследовании деформации изгиба


Метод конечных элементов предусматривает задание форм перемещений не по всей длине стержня, а лишь на отдельных участках длины h (Рис. 3.1), на которые разбивается стержневая система:

Рис. 3.1. Выделение элемента длины h.

В пределах каждого участка для случая для случая изгиба стержня формы перемещений задаются кубическим полиномом:

(3.1)

Рис. 3.2. Нумерация перемещений в пределах элемента

Учитывая, что:

Если выразить через прогибы и углы поворота на краях рассматриваемого элемента, то получим:

Подставляя в выражение (3.1) имеем

Вынесем обобщенные координаты за скобки как общие множители и сформируем произведение матриц

, (3.2)

В компактной форме

где q – вектор-столбец обобщенных перемещений, которыми являются перемещения узловых точек на границе элементов по ортогональным направлениям

- одномерные функции Эрмита:

Функции Эрмита удовлетворяют следующим условиям:

; ; ;

; ; ;

; ; ;

; ; ;

Каждая из функций Эрмита определяет изгиб жестко заделанной балки, которая получила единичное смещение по соответствующему направлению. Эти единичные смещения показаны на рисунке 3.3.

Выражения (3.2) можно представить в виде

;

Обозначим

Тогда

(3.3)

Рис. 3.3. Единичные смещения по обобщенным перемещениям

Равновесие элемента в обобщенных координатах имеет вид

где

- обобщенные силы от внутренних сил упругости элемента,

- обобщенные силы от внешних активных сил.

Чтобы получить обобщенные силы от внутренних сил упругости и матрицу жесткости для балочного элемента, запишем выражение потенциальной энергии внутренних сил элемента:

; (3.4)

где

(3.5)

E- модуль упругости материала балки, I- момент инерции сечения элемента.

Обобщенные силы от внутренних сил упругости выражаются через потенциальную энергию

Обозначим как матрицу жесткости элемента

После вычисления интеграла и подстановки матрицы получим

После перемножения матриц имеем:

(3.6)

Обобщенные силы от внутренних сил упругости примут вид

(3.7)

где вектор-столбец обобщенных перемещений.

Обобщенные силы от внешних активных воздействий на элемент определим через возможную работу на обобщенных перемещениях

(3.8)

где в соответствии с (3.3) вариация поперечного перемещения

,

а проекция распределенной нагрузки на поперечное направление к оси элемента при линейном законе распределения выражается через ее узловые значения :

, (3.9)

при

,

.

(3.10)

где

,

Рис. 3.4. Интенсивность воздействия распределенных сил на рамный (балочный) конечный элемент

Тогда

. (3.11)

Коэффициенты в выражении возможной работы при соответствующих вариациях обобщенных координат называются обобщенными силами, то есть

(3.12)

где - значения распределенной нагрузки в узловых точках.

В выражение (3.12) необходимо добавить сосредоточенные узловые активные силы, в проекции на направление обобщенных перемещений.

Вернемся к условию равновесия в обобщенных координатах, представив его в виде

,

Тогда для конечного элемента оно выглядит так:

(3.13)

При решении динамической задачи уравнения составляем на основе уравнений Лагранжа второго рода:

(3.14)

где T – кинетическая энергия механической системы, которую необходимо выразить через обобщенные координаты:

,

где m –масса единицы длины стержневого элемента.

Выразим скорости точек элемента через обобщенные координаты и функции Эрмита, получим:

(3.15)

Под интегралом в выражении (3.15) стоит квадратная матрица:

После вычисления интеграла получаем выражение кинетической энергии через произведение обобщенных скоростей и матрицы масс [M] размером 4 4.

, (3.16)

где

Вычисляя производные в левой части уравнений Лагранжа второго рода (3.14), получим:

и с учетом соотношения (3.7) запишем

(3.17)

Уравнение (3.17) определяет модель движения упругой динамической системы под действием внешних переменных сил.


Сейчас читают про: