2015-02-04
325
Тема 2.1. Элементы топологий.
Множества и действия с ними.Диаграммы Эйлера-Венна.Открытость, выпуклость, точные границы множеств.Понятие окрестности точки.
Тема 2.2. Функциональная зависимость.
Линейные отображения. Понятие функции. Графики основных элементарных функций.
Тема 2.3. Предел и непрерывность.
Предел числовой последовательности.Бесконечно малые, бесконечно большие величины, их шкалы сравнения.Предел функции.Основные теоремы о свойствах предела.Непрерывность функции в точке. Точки разрыва. Свойства непрерывных функций. Основные теоремы. Замечательные пределы и следствия из них, эквивалентность.
Тема 2.4. Производная и дифференциал.
Основные определения, геометрическая, механическая и экономическая трактовки; правила дифференцирования, производная композиции. Производные элементарных функций. Логарифмическая производная. Производная параметрически заданной функции. Производная функции, заданной неявно. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью. Использования дифференциала в приближенных вычислениях. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения.Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши, правило Лопиталя. Формула Тейлора функции в окрестности точки; ее частный случай – формула Маклорена. Формулы Маклорена для элементарных функций.
Тема 2.5. Исследование функций, построение графиков.
Монотонность функции на интервале; необходимое условие возрастания, достаточное условие возрастания (убывания). Определение локального экстремума функции в точке, геометрическая трактовка. Необходимое условие экстремума функции в точке. Достаточное условие экстремума функции. Выпуклость функции. План исследования функции с целью построения графика; асимптоты.
РАЗДЕЛ 3. (модуль 3) Функции нескольких переменных.
Точечные множества в n-мерном пространстве. Основные определения, геометрический смысл; определения предела и непрерывности в точке и в области. Частные производные первого и второго порядка. Полный дифференциал. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума функции в точке. Градиент, его формула и свойства; поверхности постоянного уровня, производная по направлению вектора функции, ее свойства, геометрическая и физическая трактовка.
