В условиях полной определенности

Рассмотрим вначале простейшую ситуацию, когда имеется полная информация о всех альтернативах по всем критерия. Данное условие в математической модели предполагает, что каждый критерий измеряется количественно и его показатель привлекательности для каждой альтернативы пропорционален его количественной оценке.

Рассмотрим вначале простейший случай, когда оценки привлекательности альтернатив по каждому критерию качественные и имеются экспертные оценки критериев по одной и той же (например десятибалльной) шкале. Пусть имеется n альтернатив и k критериев. Обозначим - оценку i -й альтернативы по j -му критерию. Очевидно, что критерии имеют различную важность. Одни оказывают большее влияние на принятое в результате решение, другие меньшее. Назовем степень важности каждого критерия его весом. Пусть вес j -го критерия равен . Вес критерия измеряется по любой пропорциональной шкале (например от 0 до 1 или по десятибалльной или любой другой шкале). Веса критериев определяют либо эксперты, либо непосредственно ЛПР. Методы определения экспертных оценок альтернатив по критериям и весов критериев будут рассмотрены далее.

Итак, если известны оценки альтернатив, веса критериев и если решается задача на максимизацию, то есть чем выше оценка альтернативы, тем она более привлекательна, то для принятия оптимального решения нужно вычислить функции полезности каждой альтернативы по формулам:

(1)

и принимается та альтернатива, для которой функция полезности максимальна. Если решается задача минимизации (чем меньше оценка альтернатив по критериям, тем привлекательнее альтернатива), то выбирается альтернатива с меньшей функцией полезности. Рассмотрим пример.

Пример 1. Директор предприятия желает заключить договор с одной из ремонтно-сервисных компаний на обслуживание автоматизированной сборочной линии. Ему предлагают свои услуги четыре компании, которые условно обозначим А, В, С и D. Для выбора стороны по договору директор выделяет несколько критериев. В первую очередь важна стоимость обслуживания, гарантийные обязательства и прочие накладные расходы, которые в совокупности назовем «Финансовые условия», директор считает их вес наибольшим и по единичной шкале оценивает в =0,8. Также немаловажна экспертная оценка надежности компании, их репутация. Данный критерий имеет оценку веса =0,5. Кроме того нельзя не учесть такой критерий как быстрота реагирования, то как поставлена система обслуживания линии, как быстро устраняются неполадки и осуществляется наладка. Вес этого критерия =0,3. Оценки альтернатив по каждому критерию (чем выше, тем привлекательнее альтернатива) приведены в таблице:

Рассчитываем функции полезности для каждой альтернативы:

Видно, что для второй альтернативы функция полезности максимальна, поэтому рациональнее всего ее принять и заключить договор с компанией В.

Как видно из примера, все показатели привлекательности критериев качественные и поэтому для количественной оценки использованы их экспертные оценки по десятибалльной шкале, то есть оценки имеют одинаковую размерность (они безразмерны). Другая ситуация возникает, когда оценки разных критериев имеют разную размерность, часть из них являются натуральными (например, один критерий оценивается в рублях, другой – в минутах, третий – в экспертных баллах и т.д.). Для их сравнения и включения в функции полезности на равных (точнее пропорциональных весам) условиях существует рад методов, которые имеют общее название методов нормализации. Под нормализацией критериев понимается такая последовательность процедур, с помощью которой все критерии приводятся к единому, безразмерному масштабу измерений. Рассмотрим один из наиболее часто применяемых на практике методов нормализации.

Предположим, что имеется n альтернатив и k критериев. Обозначим - оценку i -й альтернативы по j -му критерию. Пусть оценки альтернатив по критериям имеют различные размерности. Введем обозначение - максимальное значение j -го критерия по каждой альтернативе, а - минимальное значение j -го критерия по альтернативам. Тогда введем нормализованные оценки альтернатив по критериям.

В случае максимизации критериев (чем больше показатель, тем лучше) из каждого элемента столбца матрицы вычитают минимальный элемент данного столбца и результат делится на разницу между максимальным и минимальным элементами этого столбца: . В случае минимизации критериев (чем меньше показатель, тем лучше), нормализованные оценки равны: , то есть из максимального элемента каждого столбца матрицы вычитают каждый элемент этого столбца и результат делится на разницу между максимальным и минимальным элементами столбца.

В результате нормализации, вне зависимости, ведется максимизация или минимизация критерия, альтернатива, имеющая наилучший для ЛПР показатель привлекательности по любому критерию получает оценку 1, наименее привлекательная имеет оценку 0, а остальные альтернативы имеют промежуточные оценки от 0 до 1 пропорционально их привлекательности между показателями наилучшей и наихудшей альтернатив. Функции полезности каждой альтернативы вычисляются по формулам (1), но с нормализованными показателями привлекательности где - веса критериев. Принимается та альтернатива, для которой функция полезности максимальна. Рассмотрим пример.

Пример 2. Сотовая компания, открывая свое представительство в городе Н. выбирает помещение, которое собирается снять в аренду для своего офиса. Имеется несколько альтернатив: центр города А, парковая зона В, индустриальный район С, район ранка D. Рассматриваются следующие критерии: арендная плата (тыс. руб./год.), площади помещения (кв. м.), доступность для клиентов (балл из 10), состояние помещения (балл из 10). Оценки альтернатив по критериям, а также веса критериев (по 10-балльной системе) приведены в таблице:

Альтернатива	Критерии (матрица )
Аренда	Площади	Доступность	Состояние
А
В
С
D
Вес

Проводим нормализацию показателей альтернатив по критериям. Для первого критерия (аренда), который минимизируется, максимальный элемент равен 130, минимальный 65. Данный критерий минимизируется, поэтому от максимального элемента первого столбца матрицы (который равен ) отнимаем каждый элемент этого столбца отнимаем и делим на разность 130-65=65. Для второго элемента (площадь), который максимизируется, от каждого элемента второго столбца отнимаем минимальный элемент этого столбца, равный 90 и делим на разность максимального и минимального элементов 110-90=20. Аналогично рассчитывая нормализованные показатели третьего и четвертого критериев, получаем матрицу нормализованных показателей:

Альтернатива	Нормализованный критерии (матрица )
Аренда	Площади	Доступность	Состояние
А		0,25
В
С	0,77		0,25	0,67
D	0,46	0,5	0,75	0,33

В результате, рассчитанные с учетом весов функции полезности равны

Видно, что альтернатива A (центр города) наилучшая, т.к. ее функция полезности максимальна.

Методы решения задач принятия решений в условиях определенности с использованием ЭВМ приведены в лабораторной работе №1 данного пособия.