Принятие решений в условиях риска

Рассмотренная ранее ситуация подразумевала, что ЛПР обладает полной информацией (своими оценками или экспертизами) о рассматриваемой проблеме. Однако, часто бывает, когда степень привлекательности альтернативы по тому или иному критерию зависит от случайных факторов. Например, физическое лицо, желающее положить деньги в банк, становится над проблемой выбора: положить деньги в Сбербанк РФ, где процент дохода минимален, но надежность вклада составляет 100 %, или рискнуть, положив деньги в коммерческих банк и получить по ним больший процент, но рискуя иметь проблемы с выплатами вклада, в связи с возможным банкротством банка.

Если ЛПР не знает, как развернется ситуация по той или иной альтернативе при принятии решения, но имеются объективные вероятности развития возможных ситуаций, то такую математическую модель будем называть моделью принятия решений в условиях риска. При анализе такой модели удобно пользоваться графическим представлением, называемым деревом решений.

Дерево решений представляет собой граф (графическую схему), которая состоит из дуг (линий), каждая из которых соответствует возможному варианту развития ситуации, и вершин, изображаемых окружностями или квадратами, каждая из которых соответствует «развилке», когда развитие ситуации может принять тот или иной сценарий. Дерево строится слева направо, начиная с корневой ветки, которая соответствует началу принятия решения. Если при развитии какой либо ситуации возможны несколько вариантов ее реализации, при этом выбор варианта осознанно осуществляет ЛПР, то на дереве событий эту «развилку» будем обозначать квадратом. Если же выбор варианта развития ситуации осуществляется благодаря случаю и ЛПР на него не влияет, то такую «развилку» будем обозначать окружностью. Под каждой линией указывается вероятность реализация соответствующему этой линии сценарию развития ситуации. Таким образом, все возможные сценарии развития событий будут отображены на дереве решений в виде ветвей этого дерева.

Последние правые ветви дерева решений соответствуют конкретным исходам, результатам принятого решения. В большинстве случаев этот результат можно измерить количественно, например, если он имеет смысл прибыли, вероятности успеха, степени риска. Если показатель привлекательности результата качественный, то его можно измерить путем экспертной оценки. Проставим в конце правых крайних ветвей дерева показатели их привлекательности, которые назовем весами этих ветвей.

На следующем этапе нужно проставить веса остальных ветвей. Процесс взвешивания производится справа налево, от крайних ветвей дерева к их корню. При этом нужно соблюдать следующие правила:

1. Если взвешиваемая ветка расходится на несколько в результате принятого ЛПР решения (развилка – квадрат), то вес ветки равен максимальному весу веток, исходящих из нее, при этом ветки с меньшими весами обрубаются.

2. Если взвешиваемая ветка расходится из-за случайных обстоятельств (развилка - круг), то ее вес равен сумме произведений весов всех исходящих из нее веток, умноженных на вероятности этих веток.

3. Если какая-либо ветка имеет дополнительных вес (например из-за промежуточных дополнительных затрат), то этот вес добавляется к рассчитанному.

Взвешивание веток производится до тех пор, пока не будет взвешена последняя левая корневая ветка. Ее вес и есть средний выигрыш ЛПР, если он будет действовать оптимально, принимая решения по «неотрубленным» веткам дерева решений.

Рассмотрим несколько примеров.

ПРИМЕР 1.

ЛПР должен выбрать одну из двух корзин. В первой корзине имеются пять белых шаров и три черных, во второй – три красных и семь черных. ЛПР может выбрать корзину по своему желанию, однако, шары из нее извлекаются случайно. Если ЛПР из выбранной корзины достанет белый шар, то получит 100 рублей, если красный, то 500 рублей, если черный, то отдаст 200 рублей. Какую корзину рациональнее всего выбрать?

Дерево решений начинаем строить от корневой ветки (номер 1, для удобства ветки пронумерованы), которая соответствует началу принятия решения. Далее ЛПР должен выбрать корзину. Этот выбор осознанный, поэтому развилка обозначена квадратом. Перемещаясь по ветки 2, соответствующей первой корзине подходим к ситуации, когда ЛПР наудачу выбирает шар. Этот выбор случаен, поэтому развилка обозначается окружностью. У линии указываем вероятности исходов – 5/8 и 3/8 соответственно. В конце линий указываем их веса - выигрыши ЛПР при том или ином исходе: 100 и -200. Аналогично размечаем ветви 3,6 и 7.

Рассчитываем веса других ветвей дерева решений. Из ветви 2 выходят две ветки со случайным выбором, поэтому в соответствии с правилом 2 ее вес 5/8*100+3/8*(-200)=-12,5. По аналогии, вес ветки 3 равен 10. Из корневой ветки 1 выходят две ветки с неслучайным выбором, поэтому ее вес равен максимальному из их весов, то есть 10. Ветка 2 с меньшим весом обрубается.

Задача решена. ЛПР должен выбирать вторую корзину и его средний выигрыш составит 10 руб.

ПРИМЕР 2.

Частный предприниматель, руководитель компании, которая занимается разработкой Интернет - сайтов для предприятий и организаций получил крупный заказ. При этом поставлены жесткие сроки – разработать сайт в течении двух недель. Если это удается, то предприниматель получает прибыль 120 тыс. руб. Однако, в соответствии с договоренностью, если срок разработки сайта будет продлен на неделю, то прибыль составит лишь 40 тыс. руб. Если заказ не выполнен и за 3 недели, то договор расторгается и предприниматель терпит убытки, связанные с невыполнением заказа и штрафными санкциями в сумме 140 тыс. руб.

По оценкам сотрудников организации, оценка шансов того, что заказ будет выполнен своими силами за две недели составит 30 %. Шанс выполнить заказ за три недели оценивается в 50%. Однако, можно воспользоваться услугами сотрудников посторонней организации, которые значительно ускорят время выполнения заказа. Можно привлечь сотрудников фирмы «WebSite», помощь которой гарантирует выполнение заказа за 3 недели, а выполнение заказа за 2 недели оценивается с вероятностью 70%. Можно заключить договор с фирмой «Intersite», помощь которой поможет выполнить заказ за 2 недели со 50 % вероятностью и гарантируют его выполнение за 3 недели. Помощь фирмы «Website» оценивается в 70 тыс. руб. (вне зависимости от срока выполнения заказа), а фирмы «Intersite» - в 50 тыс. руб. Какое решение оптимальнее всего принять предпринимателю?

Решение. Предприниматель должен сделать выбор: либо выполнять заказ своими силами, либо привлекать помощь. Если будет привлечена помощь, то нужно определиться, какая фирма будет участвовать в выполнении заказа. В результате, рассчитав все прибыли и издержки, строим дерево решений.

Рассчитав его, делаем вывод, что нужно привлекать помощь в виде компании Intersite, что даст среднюю прибыль в 30 тыс. руб.

ПРИМЕР 3.

Предприниматель имеет несколько торговых точек по продаже газет и журналов. Большую прибыль приносит ему спортивные газеты, в частности «Спорт-Экспресс». Однако спрос на него не стабилен и во многом зависит от успеха российских и местных (городских) спортсменов за предыдущий день. Если спортивную газету не удается продать в день выпуска, то спрос на нее, и соответственно прибыль предпринимателя, значительно падают. Оптовую закупку газет выгодно осуществлять партиями, кратными 1000 экземпляров. Как показывает практика, в самые удачные дни выгодно покупать для реализации не более 3-х партий газет. По статистике, вероятность не продать ни одной партии равна 0,1, вероятность продать только одну партию газеты составляет 0,3, вероятность продать две партии – 0,4, и все три – 0,2. При продаже каждой партии предприниматель получает прибыль 4000 руб. В случае, если партия была закуплена, но не была продана, убытки составляют 3000 руб. Определить, какое количество партий оптимальнее всего закупать.

Решение. У предпринимателя 4 альтернативы: не закупать не текущий день партию газет вообще, закупить одну, две, или три партии. Если партия реализуется, то это дает прибыль 4000 руб. на каждую партию. Убытки могут быть двух видов: если партия закуплена, но не реализована, то убытки 3000 руб., если партия не закуплена, но спрос на нее был, то имеется упущенная прибыль, что также не выгодно предпринимателю. В итоге, дерево решений можно представить в виде:

Видно, что для получения максимальной средней прибыли в 4500 руб. нужно закупать 2 партии газет.