Решив систему дифференциальных уравнений, получим формулу Пуассона

. (2.7)

Таким образом, вероятность поступления точно k заявок простейшего потока за отрезок времени t определяется формулой Пуассона (2.7). По этой причине простейший поток также называют стационарным пуассоновским потоком.

Основные характеристики простейшего потока. При объединении n независимых простейших потоков c l₁, l₂, …, l _n образуется простейший поток с параметром l₁ + l₂ + … + l _n. Вероятность точно k заявок за отрезок времени t определяется формулой Пуассона

. (2.8)

Можно показать, что объединение большого числа независимых стационарных ординарных потоков с практически любым последействием при малых значениях параметров этих потоков создает общий поток, близкий к простейшему. Если каждый из потоков поступает от отдельного источника заявок, то простейший поток можно представить как поток от бесконечного числа источников, параметры каждого из которых стремятся к нулю.

Сумма вероятностей всех возможных значений числа поступающих заявок за рассматриваемый промежуток времени t равна 1. Действительно,

.

При t = 1 получаем

.

Функция P_k (t) есть функция распределения дискретной случайной величины K. Из (2.7) следует, что она зависит от l t и k, а при t =1 –от l и k.

Как и для любой дискретной случайной величины, распределенной по закону Пуассона, математическое ожидание М (k) дисперсии D (k) и среднеквадратическое отклонение s(k) числа заявок простейшего потока, поступивших за отрезок времени t, равны: M (k) = D (k) = l t; s(k) = . При t = 1 M (k) = D (k) = l, s(k) = .

Из этого следует, что интенсивность простейшего потока равна его параметру m = M (k) = l. Равенство m = l справедливо не только для простейшего потока, но и для любого стационарного ординарного потока.

Вероятность поступления k и более заявок определяется по формуле

.

Вероятности P_k (t) и P_{i ³ k} (t) для различных значений k и l t табулированы [11].

Функция F (z) распределения вероятностей промежутков времени между заявками. Согласно определению функция F (z) равна вероятности того, что промежуток времени между заявками будет меньше заданного промежутка z, что равносильно вероятности p₁(z) того, что за промежуток z поступит одна заявка и более. Используя (2.7), получим

F (z) = P (Z < z) = p₁(z) = p₀(z) – P ₀(z) = 1 – e^{–l Z}, z ³ 0, (2.9)