Энергия, которая обусловлена взаимодействием тел, называется потенциальной энергией

Рис. 23.

Движение тела по наклонной плоскости

Определим работу силы тяжести при скольжении тела по наклонной плоскости (рис. 23). Пусть изначально тело находится на высоте h. Путь, который тело пройдет, двигаясь с высоты h до основания наклонной плоскости, равен s = h/cos(α). Сила, под действием которой тело скользит по наклонной плоскости – это составляющая силы тяжести, равная mg*cos(α). Таким образом, работа силы тяжести на пути s равна mg*cos(α).

Если тело движется в поле тяжести не по прямой линии, а по кривой AB (рис. 24), то мы можем мысленно разбить весь путь на малые участки AA₁, A₁A₂, A₂A₃, … и т. д. Каждый участок должен быть настолько малым, чтобы его можно было считать прямолинейным. Тогда работа силы тяжести на участке с номером N будет равна mgh_N, где h_N – проекция длины участка на вертикаль. Работа при перемещении вдоль линии АВ будет равна сумме работ на каждом малом участке:

A = mgh₁ + mgh₂ + mgh₃ + … + mgh_n = mg*(h₁ + h₂ + h₃ + … + h_n) = mgh.

В общем случае, при движении по траектории произвольной форме, работа силы тяжести вычисляется при помощи интеграла (58). Пусть тело падает с высоты h1 до высоты h2. Если ускорение свободного падения считать постоянным и принимая во внимание предыдущие рассуждения, получаем:

(65)

Здесь dh – скалярная величина, проекция вектора элементарного перемещения на вертикальное направление. Знак «минус» перед вторым интегралом появился потому, что сила тяжести направлена вниз, а ось высот направлена снизу вверх.

Таким образом, работа силы тяжести в однородном поле не зависит от траектории движения тела и всегда равна произведению силы тяжести на разность высот начальной и конечной точек движения. Если тело движется сверху вниз, работа силы тяжести положительна (h₁ > h₂), если тело движется снизу вверх, работа силы тяжести отрицательна (h₁ < h₂).

Силы, работа которых не зависит от формы траектории, по которой перемещается тело, а определяется лишь его начальным и конечным положениями, называются консервативными (или потенциальными). Примерами консервативных сил являются сила тяжести, сила электростатического взаимодействии, силы, возникающие при упругом деформировании тела.

Рис. 24.

Вычисление работы силы тяжести вдоль криволинейной траектории

Для поля консервативных сил можно ввести понятие потенциальной энергии E_P, величина которой определяется только положением тела в пространстве и не зависит от движения тела. При движении тела в поле консервативных сил его потенциальная энергия изменяется. Изменение потенциальной энергии в поле консервативных сил – это работа, совершаемая этими силами. Поскольку работа совершается за счет изменения потенциальной энергии, то изменение потенциальной энергии и работа консервативных сил должны иметь разные знаки. Вернемся к движению тела в поле тяжести. Согласно формуле (65), если тело движется сверху вниз, то его потенциальная энергия уменьшается, а работа силы тяжести является положительной. Если тело движется вверх, то его энергия увеличивается, а работа силы тяжести отрицательна. Из всего этого можно сделать следующий вывод: