Теорема Кантора

Функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве, является равномерно непрерывной.

Пример 1. Доказать, что функция равномерно непрерывна на .

Для имеем: . Используя неравенства и , если , получим: , если . Таким образом, для что для , т.е. функция равномерно непрерывна на .

Пример 2. Цех завода вырабатывает квадратные пластинки, стороны которых могут принимать значения в пределах от 1 до 10 см. С каким допуском можно обрабатывать стороны этих пластинок, чтобы независимо от их длины (в указанных границах) площадь их отличалась от проектной меньше, чем на ? Произвести численный расчет, если а) = 1см²; б) = 0,01см²; в) = 0,0001см².

Площадь квадратной пластины со стороной равна . Поэтому задача состоит в исследовании на равномерную непрерывность функции на множестве [1,10].

Рассмотрим разность: . На рассматриваемом промежутке сумма , следовательно, , откуда . Таким образом, для , что для из условия следует .

Произведем вычисления: а) если 1см², то 1/20=0,05см; б) если 0,01см², то 0,0005см; в) если 0,0001см², то 0,000005см.

Пример 3. В положительном смысле сформулируйте на языке “ ” утверждение: функция , непрерывная на некотором множестве (интервале, сегменте), не является равномерно непрерывной на этом множестве.

Пусть функция непрерывна на множестве , по определению непрерывности это означает, что функция непрерывна в любой точке этого множества: выполнено условие - такое, что имеет место неравенство . Итак, зафиксировав произвольное , мы по любому выбранному указываем , т.е. будет зависеть и от , и от . В определении же равномерной непрерывности по указывается , которое годится для всех одновременно. Если же функция не является равномерно непрерывной на , это означает, что: и такие, что , но при этом .

Пример 4. Исследовать на равномерную непрерывность функцию на .

Рассмотрим разность . Положим тогда .

Пусть и т.к. . Следовательно, функция не является равномерно непрерывной на .

Пример 5. Исследовать на равномерную непрерывность функцию на .

Рассмотрим разность - получено с использованием неравенств:

, для

Т.к. на множестве функция ограничена для то , откуда и, следовательно, функция равномерно непрерывна на .

Пример 6. Исследовать на равномерную непрерывность функцию на (0, 1).

Рассмотрим разность . При функция , поэтому функция не будет равномерно непрерывной в любом интервале . Докажем это. Положим тогда , для всех , но при этом: . Следовательно, , например и , что , но .

Пример 7. Исследовать на равномерную непрерывность функцию на .

Функция определена и непрерывна как композиция непрерывных функций на замкнутом ограниченном множестве , следовательно, она является равномерно непрерывной на по теореме Кантора.

Пример 8. Исследовать на равномерную непрерывность функцию на .

Функция не определена в точках и , однако существует аналогично,

, поэтому, доопределив функцию по непрерывности в точках и :

мы получим функцию, непрерывную на замкнутом ограниченном множестве , а поэтому и равномерно непрерывную по теореме Кантора.

Пример 9. Исследовать на равномерную непрерывность функцию на .

Функция непрерывна на , следовательно, непрерывна и на промежутке .

Тогда по теореме Кантора она равномерно непрерывна на . Докажем, что данная функция равномерно непрерывна для .

Пусть либо , тогда . Для выберем , тогда для либо из неравенства будет следовать . Значит функция равномерно непрерывна на и . Покажем, что она равномерно непрерывна на .

Зададимся произвольным >0. В силу равномерной непрерывности на такое, что для и таких, что < , тотчас выполняется < а вследствие равномерной непрерывности на либо что для либо , для которых < , имеет место: < . Возьмем Тогда для из неравенства < будет, во-первых, следовать (т.к. <1), что и оба принадлежат либо , либо , либо а во-вторых, что < что и означает равномерную непрерывность на .

Пример 10.Доказать, что если функция определена и непрерывна при и существует конечный то равномерно непрерывна на данном промежутке.

Из существования предела согласно критерию Коши имеем, что для такое, что для (т.е. для ) тотчас выполняется: < Фиксируем найденное D и рассмотрим сегмент . Согласно теореме Кантора функция равномерно непрерывна на т.е. для в том числе и для выбранного ранее, такое, что для и таких, что выполняется

Не ограничивая общности, считаем, что . Тогда из условия следует, что числа либо оба больше D, либо оба меньше 2D (т.е. не может быть, чтобы ). Но в обоих этих случаях из условия сразу следует: что и устанавливает равномерную непрерывность на функции .

Пример 11.Исследовать на равномерную непрерывность функцию на

Функция не определена в точке , однако может быть доопределена по непрерывности, т.к. как произведение ограниченной функции на бесконечно малую. Поэтому положим . Найдем откуда по доказанному в примере 10 следует равномерная непрерывность функции на