2015-02-14
2197
Функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве, является равномерно непрерывной.
Пример 1. Доказать, что функция 
равномерно непрерывна на 
.
Для 
имеем: 
. Используя неравенства 
и 
, если 
, получим: 
, если 
. Таким образом, для 
что для 
, т.е. функция 
равномерно непрерывна на .
Пример 2. Цех завода вырабатывает квадратные пластинки, стороны которых 
могут принимать значения в пределах от 1 до 10 см. С каким допуском 
можно обрабатывать стороны этих пластинок, чтобы независимо от их длины (в указанных границах) площадь их 
отличалась от проектной меньше, чем на 
? Произвести численный расчет, если а) = 1см2; б) = 0,01см2; в) = 0,0001см2.
Площадь квадратной пластины со стороной равна 
. Поэтому задача состоит в исследовании на равномерную непрерывность функции на множестве [1,10].
Рассмотрим разность: 
. На рассматриваемом промежутке сумма 
, следовательно, 
, откуда 
. Таким образом, для 
, что для 
из условия 
следует 
.
Произведем вычисления: а) если 
1см2, то 
1/20=0,05см; б) если 0,01см2, то 0,0005см; в) если 0,0001см2, то 0,000005см.
Пример 3. В положительном смысле сформулируйте на языке “ 
” утверждение: функция 
, непрерывная на некотором множестве (интервале, сегменте), не является равномерно непрерывной на этом множестве.
Пусть функция непрерывна на множестве 
, по определению непрерывности это означает, что функция непрерывна в любой точке этого множества: 
выполнено условие - 
такое, что 
имеет место неравенство 
. Итак, зафиксировав произвольное 
, мы по любому выбранному 
указываем 
, т.е. будет зависеть и от , и от 
. В определении же равномерной непрерывности по 
указывается , которое годится для всех 
одновременно. Если же функция 
не является равномерно непрерывной на , это означает, что: 
и такие, что 
, но при этом 
.
Пример 4. Исследовать на равномерную непрерывность функцию 
на .
Рассмотрим разность 
. Положим 
тогда 
.
Пусть 
и 
т.к. 
. Следовательно, функция не является равномерно непрерывной на .
Пример 5. Исследовать на равномерную непрерывность функцию 
на 
.
Рассмотрим разность 
- получено с использованием неравенств:
, 
для 
Т.к. на множестве функция 
ограничена для 
то 
, откуда 
и, следовательно, функция равномерно непрерывна на .
Пример 6. Исследовать на равномерную непрерывность функцию 
на (0, 1).
Рассмотрим разность 
. При 
функция 
, поэтому функция 
не будет равномерно непрерывной в любом интервале 
. Докажем это. Положим 
тогда 
, для всех , но при этом: 
. Следовательно, , например 
и 
, что , но 
.
Пример 7. Исследовать на равномерную непрерывность функцию 
на 
.
Функция определена и непрерывна как композиция непрерывных функций на замкнутом ограниченном множестве 
, следовательно, она является равномерно непрерывной на по теореме Кантора.
Пример 8. Исследовать на равномерную непрерывность функцию 
на 
.
Функция не определена в точках 
и 
, однако существует 
аналогично,
, поэтому, доопределив функцию по непрерывности в точках и : 
мы получим функцию, непрерывную на замкнутом ограниченном множестве , а поэтому и равномерно непрерывную по теореме Кантора.
Пример 9. Исследовать на равномерную непрерывность функцию 
на .
Функция непрерывна на , следовательно, непрерывна и на промежутке 
.
Тогда по теореме Кантора она равномерно непрерывна на . Докажем, что данная функция равномерно непрерывна для 
.
Пусть 
либо 
, тогда 
. Для выберем 
, тогда для 
либо 
из неравенства 
будет следовать 
. Значит функция равномерно непрерывна на и 
. Покажем, что она равномерно непрерывна на .
Зададимся произвольным >0. В силу равномерной непрерывности на 
такое, что для 
и таких, что < 
, тотчас выполняется 
< 
а вследствие равномерной непрерывности на либо 
что для 
либо , для которых 
< 
, имеет место: 
< . Возьмем 
Тогда для 
из неравенства < будет, во-первых, следовать (т.к. <1), что 
и 
оба принадлежат либо 
, либо , либо 
а во-вторых, что 
< что и означает равномерную непрерывность на .
Пример 10.Доказать, что если функция 
определена и непрерывна при 
и существует конечный 
то равномерно непрерывна на данном промежутке.
Из существования предела согласно критерию Коши имеем, что для 
такое, что для 
(т.е. для 
) тотчас выполняется: 
< 
Фиксируем найденное D и рассмотрим сегмент 
. Согласно теореме Кантора функция равномерно непрерывна на 
т.е. для 
в том числе и для выбранного ранее, 
такое, что для 
и таких, что 
выполняется 
Не ограничивая общности, считаем, что 
. Тогда из условия следует, что числа 
либо оба больше D, либо оба меньше 2D (т.е. не может быть, чтобы 
). Но в обоих этих случаях из условия сразу следует: 
что и устанавливает равномерную непрерывность на 
функции 
.
Пример 11.Исследовать на равномерную непрерывность функцию 
на 
Функция не определена в точке 
, однако может быть доопределена по непрерывности, т.к. 
как произведение ограниченной функции на бесконечно малую. Поэтому положим 
. Найдем 
откуда по доказанному в примере 10 следует равномерная непрерывность функции 
на
