Определение

Пусть функция определена в окрестности точки , кроме, может быть, самой точки . Точку называют точкой разрыва функции в следующих случаях:

а) функция не определена в этой точке;

б) функция определена в точке , но либо не существует либо существует но ¹

Если существует , но не определена в точке или ¹ , то называют точкой устранимого разрыва.

Если в точке существуют конечные пределы , то называют точкой разрыва 1-го рода или скачком, величину скачка характеризует модуль разности .

Если в точке не существует хотя бы один из пределов или , то называют точкой разрыва второго рода.

Функция, имеющая хотя бы одну точку разрыва, называется разрывной.

Пример 1. На языке ²e-δ² доказать непрерывность следующих функций: а) , б) ; в) ;

а) "e>0 и " имеем: в случае .

Отметим: не зависит от рассматриваемой точки .

б) Пусть - произвольная точка из . Тогда = , если < . Итак, зависит и от , и от значения . В точке = 0 непрерывность функции следует из неравенства: , справедливого при .

в) Пусть .

При доказательстве воспользуемся неравенством при и формулой . Получим: , ведь можно считать, не нарушая общности рассуждений, что и одного знака, т.е. . Здесь зависит только от

Непрерывность функции в точке следует из неравенства .

Пример 2. Сформулировать на языке “ ” в положительном смысле следующее утверждение: функция ,определенная в точке , не является непрерывной в этой точке.

, , но .

Пример 3. Пусть для можно найти соответствующие числа такие, что , если только

Можно ли утверждать, что функция непрерывна в точке , если:

а) ; б) .

а) функция не является непрерывной в точке , так как конечное множество чисел имеет , поэтому для которого согласно условию задачи уже нельзя указать.

б) функция является непрерывной в точке , ибо для такое, что , а тогда такое, что для выполняется: , что и означает непрерывность в точке .

Пример 4.Найти и классифицировать точки разрыва следующих функций:

1) Функция непрерывна для , функция непрерывна для , функция непрерывна при x>2. Рассмотрим точки и .

следовательно, в точке имеет место разрыв 1 рода с величиной скачка, равной 2. В точке и в этой точке функция имеет разрыв 1 рода с величиной скачка, равной 10.

2) Из определения функции следует, что:

поэтому для рассматриваемой функции получим:

=

Таким образом, функция определена для всех , кроме = -1. Однако, , следовательно, в точке = -1 функция имеет устранимый разрыв.

В точке = 0 имеем:

— = 0 - точка разрыва второго рода.

В точке = 1 и в этой точке имеет разрыв 1 рода с величиной скачка, равной 2.

Пример 5. Установить, существует ли значение , при котором функция непрерывна в точке , если

1) , поэтому функция будет непрерывна в точке , если .

2) Так как , то будет непрерывной в точке , если , т.е. , откуда = -1.

Пример 6.Установить, существуют или не существуют значения и , при которых непрерывна в своей области определения, если:

1) Найдем и :

, поэтому = 1;

поэтому . При = 1 и функция непрерывна на .

2) Хотя существует , но , поэтому при = 0 функция будет непрерывной в точке = 1, однако = ‑ 1 является точкой бесконечного разрыва (разрыва 2 рода) функции .

Пример 7. Исследовать на непрерывность следующие функции:

1) ; 2) ; 3) = .

1) Учитывая, что , получим, что на интервале функция – непрерывна при . При

, т.е. и функция имеет разрыв 1 рода с величиной скачка, равной , в любой точке .

2) Для - непрерывна на указанных интервалах. Остается исследовать функцию на непрерывность в точках .

= , -функция непрерывна в любой точке , а следовательно, непрерывна на .

3) Область определения функции = - . При , т.е. при функция непрерывна, при этом . Найдем т.е. - точки являются точками разрыва 1 рода.

Осталось исследовать точку . Пусть сначала . Если , то и . При и по принципу двустороннего ограничения имеем: Если же , т.е. и . При и в силу принципа двустороннего ограничения. Следовательно, функция имеет в точке устранимый разрыв.

Пример 8. Обязательно ли будет разрывна в точке сумма двух функций , если:

а) функция - непрерывна, а функция разрывна при ;

б) обе функции и разрывны при ? Построить соответствующие примеры.

а) Да, ведь если не существует , то какова бы ни была непрерывная в точке функция , не существует.

Например: .

Если же ≠ или , то и ≠ или .

б) Нет, например: , где непрерывна в точке , тогда - сумма разрывных в точке функций является непрерывной.

Пример 9. Обязательно ли произведение двух функций терпит разрыв непрерывности в данной точке , если: а) функция непрерывна, а функция разрывна при ; б) обе функции разрывны в этой точке? Построить соответствующие примеры.

а) Нет, например, произведение - непрерывно при .

б) Нет, например:

.

Произведение на – непрерывная в точке функция.

Пример 10. Можно ли утверждать, что квадрат разрывной функции тоже разрывная функция? Построить пример всюду разрывной функции, квадрат которой есть функция непрерывная.

Нет, примером функции, разрывной в любой точке, квадрат которой, тем не менее, представляет собой непрерывную функцию, является:

тогда