Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание дискретной случайной величины – это сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие им вероятности, т.е. .

Математическое ожидание непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат всей оси , определяется равенством

.

В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу , то

Дисперсия случайной величины – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

.

Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формуле

.

Дисперсию удобно вычислять по формуле

.

Дисперсия непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат всей оси , определяется равенством

или равносильным равенством

В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу , то

или

Среднее квадратическое отклонение случайной величины определяется равенством .

Модой М₀ ( ) непрерывной случайной величины называют возможное значение этой величины, которому соответствует локальный максимум плотности распределения.

Медианой М_е ( ) непрерывной случайной величины называют возможное значение этой величины, которое определяется равенством .

Начальным моментом порядка k случайной величины называют математическое ожидание величины : .

В частности, начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию: .

Центральный момент порядка k случайной величины называют математическое ожидание величины :

.

В частности, центральный момент первого порядка равен нулю:

.

центральный момент второго порядка равен дисперсии:

.

Задачи

10.1. Задан закон распределения д.с.в. :

	-2	-1
	0,1	0,2	0,25	0,15	0,1	0,2

Найти математическое ожидание и дисперсию случайных величин , , .

10.2. Задан закон распределения д.с.в. :

Найти , .

10.3. Интегральная функция распределения д.с.в. имеет вид:

Найти .

10.4. Независимые случайные величины и заданы рядами распределения:

	0.2	0.8

	0,5	0,3	0,2

Найти двумя способами: 1) составив предварительно ряд распределения для величины ; 2) используя правило сложения дисперсий.

10.5. Задана дифференциальная функция распределения н.с.в. :

Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

10.6. Задана функция распределения н.с.в. :

Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

10.7. Задана дифференциальная функция распределения н.с.в. :

Найти моду и медиану.

10.8. Задана дифференциальная функция распределения н.с.в. :

Найти математическое ожидание, моду и медиану.

10.9. Задана дифференциальная функция распределения н.с.в. :

Найти значение параметра а, моду и медиану.

10.10. Трижды подбрасывается монета. С.в – число выпавших гербов. Составить закон распределения , найти начальные и центральные моменты первого и второго порядка, моду.

10.11. Используя условия задачи 8.6 найти начальные и центральные моменты первого и второго порядка.

10.12. Используя условия задачи 8.9 найти начальные и центральные моменты первого и второго порядка величин и .

10.13. Найти закон распределения дискретной случайной величины , зная, что она принимает два значения и и, кроме того,