Статистическое оценивание параметров распределения генеральной совокупности по выборке

Метод моментов состоит в приравнивании теоретических моментов распределения и соответствующих им статистических моментов.

Если распределение задано одним параметром , то для его отыскания достаточно приравнять один теоретический момент соответствующему эмпирическому моменту:

.

Если же закон распределения содержит два неизвестных параметра, то для их отыскания получают систему из двух уравнений:

Метод Фишера (метод максимального правдоподобия).

Пусть дискретная случайная величина распределена по закону с неизвестным параметром , который нам следует оценить по заданной выборке. Для этого составляют функцию правдоподобия

и исследуют ее на максимум. Величина , в которой функция правдоподобия достигает максимума, принимается за оценку неизвестного параметра .

Замечание: иногда вместо самой функции удобно исследовать функцию , так как и сама функция правдоподобия, и ее логарифм достигают максимумов при одном и том же значении .

Иногда, особенно при малом объеме выборки, для оценивания неизвестных параметров используют интервальные оценки.

Доверительный интервал для математического ожидания а нормального распределения при известной дисперсии:

,

где – среднее выборочное, определяется по данным выборки,

– квантиль нормального распределения, определяется по заданной доверительной вероятности c помощью таблицы (приложение V учебного пособия [10]).

Доверительный интервал для математического ожидания а нормального распределения при неизвестной дисперсии:

,

где – среднее выборочное,

– исправленное среднее квадратическое отклонение,

– квантиль распределения Стьюдента, определяется по заданной доверительной вероятности и объему выборки n c помощью таблицы (приложение VI учебного пособия [10]).

Доверительный интервал для дисперсии нормального распределения:

,

где и определяются по таблице (приложение VII учебного пособия [10]), при этом входами этой таблицы служат для , для .

Задачи

13.1. По выборке объема найти оценки параметров указанных распределений методом моментов:

1) биномиальное распределение . Найти оценку параметра ;

2) равномерное распределение . Оценить параметры .

13.2. По выборке объема найти оценки параметров указанных распределений методом максимального правдоподобия:

1) нормальное распределение . Оценить параметр ;

2) показательное распределение . Оценить ;

13.3. Считая, что отклонение размера деталей от номинала имеет нормальное распределение, найти (т.е. оценить и вычислить) его параметры методом моментов по следующим данным:

Здесь – величина отклонения (в мкм)(середина интервала, а – частота (количество деталей, имеющих отклонение в интервале с серединой ).

13.4. Время безотказной работы радиоэлементов является случайной величиной, распределённой по показательному (экспоненциальному) закону. Методом моментов найти оценку параметра , используя данные задачи 12.5 (б).

13.5. Считая, что количество отказов аппаратуры за время T является случайной величиной, распределённой по закону Пуассона, найти методом моментов оценку параметра и вычислить её значение по следующим данным:

( — количество отказов, — число случаев с отказами за время T).

13.6. Случайная величина (число повреждённых стеклянных изделий в одном контейнере) распределена по закону Пуассона с неизвестным параметром . Ниже приведено эмпирическое распределение числа повреждённых изделий в 500 контейнерах (в первой строке указано количество x_i повреждённых изделий в одном контейнере, во второй строке приведена частота – число контейнеров, содержащих повреждённых изделий):

Найти методом максимального правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра распределения Пуассона.

13.7. Емкость конденсатора есть случайная величина, распределенная по нормальному закону . Измерение емкости 16 конденсаторов дали выборочное среднее мкФ. Найти доверительный интервал для параметра с надежностью .

13.8. Диаметр вала – случайная величина, распределенная по закону . По результатам выборки объема найдено мм и исправленная дисперсия мм². Найти доверительный интервал для параметра с надежностью .

13.9. Диаметр вала – случайная величина, распределенная по закону . По результатам выборки объема найдено мм и исправленная дисперсия мм². Найти доверительный интервал для дисперсии с надежностью .

13.10. По результатам измерения емкости 10 конденсаторов с номиналом 0,1мкФ вычислены суммы мкФ и мкФ². Найти доверительный интервал для дисперсии с надежностью .

13.11. Станок-автомат штампует детали. По выборке найдено среднее выборочное диаметра деталей. Найти с надежностью точность с которой выборочное среднее оценивает математическое ожидание, зная, что среднее квадратическое отклонение известно и равно мм.

13.12. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью точность оценки математического ожидания по выборочному среднему равна , если известно, что .

13.13. Время безотказной работы электронной лампы – случайная величина, распределенная по закону . По результатам выборки объема найдено часов. Найти доверительный интервал для параметра с надежностью .

13.14. Содержание углерода в единице продукта – случайная величина, распределенная по закону . По результатам выборки объема найдено г и исправленная дисперсия г². Найти доверительный интервал для параметра с надежностью .

13.15. Результаты 10 измерений емкости конденсатора прибором, не имеющим систематической ошибки, дали следующие отклонения от номинала (в пкФ): 5,4; -13,9; -11; 7,2; -15,6; 29,2; 1,4; -0,3; 6,6; -9,9. Найти доверительный интервал для дисперсии с надежностью , считая, что отклонение от номинала – случайная величина, распределенная по закону .

13.16. Оценка величины сопротивления для большой партии однотипных резисторов, определенная по результатам измерений 100 случайно отобранных экземпляров, равна кОм.

а) Считая, что дисперсии измерений известна кОм², найти вероятность того, что для резисторов всей партии величина сопротивления лежит в пределах кОм.

б) Сколько измерений нужно произвести, чтобы с вероятностью 0,95 утверждать, что для резисторов всей партии величина сопротивления лежит в пределах кОм.