Дискретная случайная величина имеет биномиальное распределение, если она принимает значения 0, 1, 2, …, n с вероятностями .
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины , распределенной по биномиальному закону, находятся по формулам
, .
Дискретная случайная величина имеет распределение Пуассона,если она принимает значения 0, 1, 2, …, m, … с вероятностями .
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины , распределенной по закону Пуассона, находятся по формулам
, .
Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение, если она принимает значения 1, 2, …, m, … с вероятностями .
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины , распределенной по геометрическому закону, находятся по формулам
, .
Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке , если ее плотность вероятности на этом отрезке постоянна, а вне этого отрезка равна нулю:
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины , распределенной по равномерному закону, находятся по формулам
|
|
, .
Непрерывная случайная величина имеет показательное (экспоненциальное) распределение, если ее плотность вероятности имеет вид
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины , распределенной по показательному закону, находятся по формулам
, .
Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение, если ее плотность вероятности имеет вид
.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины , распределенной по нормальному закону, находятся по формулам
, .
Задачи
11.1. Найти среднее число лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, а вероятность выигрыша одного билета равна 0,1. Найти дисперсию числа успехов в данном опыте.
11.2. Проводятся 3 независимых испытания, в каждом из которых вероятность наступления некоторого события А постоянна и равна р. Пусть – число появлений события А в этом опыте. Найти D( ), если известно, что М( ) = 2,1.
11.3. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,4. Сколько надо произвести выстрелов, чтобы можно было ожидать в среднем 80попаданий в цель?
11.4. Проверяется партия из 10000 изделий. Вероятность того, что изделие окажется бракованным, равна 0;002. Найти математическое ожидание и дисперсию числа бракованных изделий в этой партии.
11.5. Сообщение содержит 1000 символов. Вероятность искажения одного символа равна 0,004. Найти среднее число искаженных символов.
11.6. В магазин отправлено 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,002. Найти среднее число разбитых бутылок.
|
|
11.7. Производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,2. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины – числа произведенных выстрелов, считая, что:
а) стрелять можно неограниченное число раз;
б) в наличии есть всего 5 патронов.
11.8. Случайная величина распределена равномерно на отрезке .Найти вероятность попадания с.в. на отрезок , целиком содержащийся внутри отрезка .
11.9. Задана дифференциальная функция распределения н.с.в. :
Найти:
11.10. Случайная величина , распределенная равномерно, имеет следующие числовые характеристики М( ) = 2, D( ) = 3. Найти F(x).
11.11. Время Т выхода из строя радиостанции подчинено показательному закону распределения с плотностью
Найти: функцию распределения ; математическое ожидание и дисперсию случайной величины Т; вероятность того, что радиостанция сохранит работоспособность от 1 до 5 час. работы.
11.12. С.в. распределена по показательному закону с параметром . Найти дифференциальную и интегральную функцию распределения, ,а также вероятность попадания значений с.в. в интервал (0,25; 5).
11.13. Определить закон распределения случайной величины , если ее плотность вероятности имеет вид:
Найти: параметр .
11.14. Случайные ошибки измерения детали подчинены нормальному закону с параметром = 20 мм. Найти вероятность того, что измерение детали произведено с ошибкой, не превосходящей по модулю 25 мм.
11.15. Пусть распределена по нормальному закону с параметрами . Найти вероятность того, что при трех независимых испытаниях с. в. хотя бы в одном из них примет значение в интервале (2; 4).
11.16. Рост взрослых мужчин является случайной величиной , распределенной по нормальному закону с параметрами . Найти: плотность вероятности, функцию распределения этой случайной величины; вероятность того, что ни один из 3 наудачу выбранных мужчин не будет иметь рост менее 180 см.
11.17. Случайная величина распределена по нормальному закону , , . Найти .
11.18. Случайная величина распределена по нормальному закону . Известно, что . Найти ; .
11.19. Случайная величина распределена по нормальному закону . При каком значении