В пространстве состояний

Классический метод математического описания цифровых систем основан на использовании дискретного преобразования Лапласа, z – преобразования, дискретных передаточных функций, псевдочастотных характеристик, структурных схем и графов. Достоинство этого метода в его наглядности, компактности, глубине и широте проведенных исследований, разработанности методов анализа и синтеза, апробированности при решении множества исследовательских и проектных задач.

В конце 60-х – начале 70-х годов 20-го века был предложен второй метод математического описания цифровых систем – метод пространства состояний. Описание системы в пространстве состояний является естественным и удобным для решения задач на микроЭВМ, позволяет унифицировать математическое описание одномерных и многомерных систем, может применяться к некоторым типам нелинейных и нестационарных систем.

В пространстве состояний непрерывные системы описываются системой дифференциальных уравнений первого порядка, называемых уравнениями состояния. Для цифровых систем уравнения состояния – система разностных уравнений первого порядка. Уравнения состояния можно записать по виду разностного уравнения n-го порядка или дискретной передаточной функции системы. Процедура получения уравнения состояния по дискретной передаточной функции называется декомпозицией. Переход к описанию в пространстве состояний может осуществляться различными способами. Обычно используют векторную форму записи разностного уравнения путём прямой подстановки (метод прямого программирования) новых переменных (переменных состояния) в исходное разностное уравнение.

1. Преобразование разностного уравнения в векторную форму

Пусть уравнение объекта или одномерной линейной цифровой системы в форме прямых разностей имеет вид

(1)

Тогда соответствующая дискретная передаточная функция представима в виде

(2)

Введём следующие переменные состояния:

(3)

(4)

Такой набор переменных состояния не является единственным, но он наиболее удобен для расчётов.

Подставим выражения (3) и (4) в уравнение (1), положив

b_n =1, а :

(5)

Система разностных уравнений (4) с учётом уравнения (5) примет вид

Эту систему уравнений можно представить в форме векторного разностного уравнения

(6)

и уравнение выхода

(7)

Обозначим вектор переменных состояния x, матрицу коэффициентов системы A, вектор управления B и вектор наблюдения C:

x (k+1) = A x (k) + B u(k), (8)

y(k) = C x (k). (9)

Если b_n =1, а , то уравнения (2) и (3) можно представить в форме

(10)

Если же , уравнения (2) и (3) приводятся к виду

или

(11)

Кроме того, используя уравнения (4), получим выражение

(12)

Подставив из уравнения (5), получаем окончательный результат

(13)

Это обобщённое уравнение выхода можно также записать в векторной форме:

или

y(k)= Cx (k)+ D u(k). (14)

При т.е. для систем без прямой передачи управляющего воздействия, уравнение (14) приобретает вид

(15)

Структурная схема, соответствующая разностному уравнению, полученному исходя из соотношений (4), (5) и (12) и записанному в пространстве состояний, представлена на рис.1 в нормальной форме.

Рис.1. Структурная схема разностного уравнения, записанного в

пространстве состояний (нормальная форма)

Предполагается, что векторное разностное уравнение и уравнение выхода имеют вид

x (k+1) = A x (k) + B u(k), (16)

y(k) = C x (k)+ D u(k). (17)

Данным уравнениям соответствует структурная схема, показанная на рис.2.

Рис.2. Структурная схема системы, описываемой векторным разностным уравнением

первого порядка

Общий вид уравнений состояния для многомерной линейной дискретной системы с постоянными параметрами (линейная стационарная модель) выглядит следующим образом

x (k+1) = Ax (k) + Bu (k), (18)

y (k) = Cx (k) + Du (k), (19)

где x (k) – вектор состояния размерностью вектор входа u (k) – размерность вектор выхода y (k) – размерность . Матрица D характеризует непосредственную связь между входом и выходом системы.