Пример 3. Решим уравнения состояния из примера 2 с помощью z-преобразования

Решим уравнения состояния из примера 2 с помощью z-преобразования:

[z I - A ] = , det(z I - A) = z²-3z+2,adj[z I - A ] = .

Следовательно,

[z I - A ]^-1 =

Согласно (22), учитывая, что x(0)=0, получим:

X (z)=[z I - A ]^-1 B U(z) = .

Поскольку , то

Y(z) = CX (z) =

или

Обратное z-преобразование Y(z) имеет вид

y(k) = - k - 2 + 2*(2)^k.

Следовательно, числовая последовательность y(k) равна 0,1,4,11,26,…,

что подтверждает результат, полученный в примере 2.

3. Вычисление дискретной передаточной функции

Из уравнения (23) при нулевых начальных условиях x (0)=0 следует, что

C [z I - A ]^-1 B+D. (26)

Знаменатель полученной передаточной функции составляет левую часть характеристического уравнения

det[z I - A ] = 0. (27)

Таким образом, передаточную функцию по уравнениям состояния можно определить двояким образом – либо с помощью матричной процедуры, либо с помощью формулы Мейсона, применив её к графу, соответствующему уравнениям состояния.

Априорное требование к дискретной передаточной функции W(z) состоит в том, что она должна быть физически реализуема. Условие физической реализуемости произвольной линейной системы предполагает, что выходной сигнал системы не может возникнуть прежде, чем будет приложен входной сигнал. Для физической реализуемости цифровой системы при разложении W(z) в степенной ряд в нём не должно содержаться членов с положительным показателем степени. Поэтому, чтобы W(z) представляла собой физически реализуемую передаточную функцию, наивысший показатель степени знаменателя должен быть равным соответствующему показателю степени числителя или превосходить его.

Реализация дискретной передаточной функции на ЭВМ может осуществляться тремя различными способами: непосредственной, последовательной или параллельной декомпозицией.