Частотные характеристики цифровых систем

Физический смысл частотных характеристик цифровых и непрерывных систем очень близок. Особенностью этих характеристик для цифровых систем является то, что они устанавливают связь между гармоническими последовательностями (гармоническими решетчатыми функциями) на входе и выходе цифрового звена (системы) с дискретной передаточной функцией W( z ). Огибающие решетчатых функций изменяются по гармоническому закону.

^{по окончании переходного процесса}

В отличие от непрерывной гармонической функции гармоническая решетчатая функция в общем случае не является периодической функцией n. Кроме того, амплитуды А_r и А_у не обязательно являются теми максимальными значениями, которых могут достигать те или иные члены соответствующих последовательностей r[n], y[n]. Амплитуды всегда будут определять лишь верхние границы, но не обязательно максимумы членов этих последовательностей.

Для перехода к частотным характеристикам используется замена аргумента

Z= e ^jωT,

в результате которой получаем комплексный передаточный коэффициент цифровой системы

W*(jω)=W( e ^jωT).

Пусть дискретная передаточная функция имеет вид

тогда ,

где , , , - соответственно вещественная, мнимая, амплитудная и фазовая частотные характеристики цифровой системы.

Очевидно,

, .

При фиксированном значении комплексный передаточный коэффициент изображается геометрически вектором на плоскости (P*,jQ*). При изменении конец вектора W*(jω) прочерчивает некоторую кривую, которую называют годографом комплексного передаточного коэффициента системы или ее амплитудно-фазовой характеристикой.

Основные особенности частотных характеристик цифровых систем, которые вытекают из свойств дискретной передаточной функции:

1. Частотные характеристики цифровых систем являются периодическими функ-циями относительно частоты с периодом повторения ω₀=2 /T. Это означает, что при построении этих характеристик достаточно ограничиться изменением в диапазоне шириной 2 /Т, например от - /Т до /Т. Если же учесть, что участки частотной характеристики в диапазонах ω от – /Т до 0 и от 0 до /Т симметричны (поскольку W*(jω) и W*(-jω) – комплексные сопряженные функции), то можно ограничиться построением частотной характеристики в интервале изменения от 0 до /Т;

2. Амплитудно-фазовые частотные характеристики цифровой системы заканчиваются на вещественной оси, так как для = /Т комплексный передаточный коэффициент всегда является действительным числом.

Свойство периодичности частотных характеристик цифровых систем физически объясняется стробоскопическим эффектом, который проявляется в том, что гармоническая решетчатая функция r[n] на входе дискретного звена не изменяется при изменении частоты ω огибающей на любую величину, кратную ω₀, т.е. последовательность r[n] будет одной и той же при всех частотах огибающей, равных ω+kω₀, k=0,1,2,3,… (рис. 1).