Пример 2. Рассмотрим дискретную систему с передаточной функцией

Рассмотрим дискретную систему с передаточной функцией

Чтобы получить модель в переменных состояния, изобразим сначала схему моделирования (рис.6) системы и выход каждого элемента задержки примем за переменную состояния.

Рис.6. Схема моделирования системы

По этой схеме запишем уравнения состояния:

Решим эти уравнения итерационным методом, считая, что x (0)=0 и u(k)=1 для всех k. Так как x (0)=0, то y(0)=0. Последовательно увеличивая k, получим:

Следующий скрипт MATLAB возвращает в окно команд те же значения:

u=1;

A=[0 1;-2 3];

B=[0;1];

C=[0 1];

D=[0];

x=[0;0];

iter=4

for k=0:iter

y(k+1)=C*x+D*u;

[k y(k+1)]

x1=A*x+B*u;

x=x1;

end

2.2 Операторный метод

Если u(k) задаётся неявно, в форме z-преобразования, можно воспользоваться операторным методом решения.

Запишем z-преобразование для вектора состояния:

Z{ x (k)} = X (z),

Z{ x (k+1)} = z[ X (z) – x (0)]

по теореме о сдвиге влево.

Из уравнения (16) следует, что

z[ X (z) - x (0)] = AX (z) + B U(z) (21)

или

X (z) = [z I - A ]^-1z x (0) + [z I - A ]^-1 B U(z). (22)

Применив к (22) обратное z-преобразование, получим тот же результат, что и в (20).

Подставляя это выражение в уравнение (17), получаем

Y(z) = C [z I - A ]^-1z x (0) + { C [z I - A ]^-1 B+D} U(z). (23)

Сравнивая уравнения (22) и (20), получим матрицу перехода

Ф (k) = Z^-1{[z I - A ]^-1z} = A ^k. (24)

Тогда (20) можно записать как

x (k) = Ф (k) x (0) + Ф (i-1) B u(k-i). (25)