Пример 1. Пусть дискретная система описывается разностным уравнением в форме обратных разностей второго порядка

Пусть дискретная система описывается разностным уравнением в форме обратных разностей второго порядка:

где u(k) – вход системы, а y(k) – её выход.

Применив к этому уравнению z-преобразование, получим передаточную функцию

Схемы моделирования приведены на рис.4,5.

Рис.4. Алгоритмическая структура системы (каноническая форма

программирования)

Рис.5. Граф системы

Модель в переменных состояния можно получить, приняв выход каждого элемента задержки в схеме моделирования за переменную состояния.

Уравнения состояния запишутся в виде

Эти уравнения можно представить в векторно-матричной форме:

2. Методы решения векторного разностного уравнения

2.1 Итерационный метод

Пусть разностное уравнение задано в векторной форме (16), (17).

Построим рекуррентную процедуру решения разностного уравнения для заданной последовательности входных сигналов u(k) при начальных условиях x (0). Эта процедура описывается соотношениями

x (1) = Ax (0)+ B u(0),

x (2) = Ax (1)+ B u(1)= A ² x (0)+ AB u(0)+ B u(1),

............

............

............

x (k) = A ^k x (0) + A ^i-1 B u(k-i). (20)

Первый член в выражении (20) представляет собой решение однородного разностного уравнения, второй – частное решение неоднородного уравнения.

Выходной сигнал y(k) вычисляется из уравнения (17).