2015-02-04
1789
Из теории линейных непрерывных систем известно: если все полюсы передаточной функции 
расположены в левой половине p – плоскости, то система устойчива. P – плоскость и z – плоскость связаны преобразованием
отсюда следует, что 
и 
В левой половине p – плоскости 
<0, поэтому 
Мнимая ось
p - плоскости отображается в единичную окружность на z - плоскости при 
, а область внутри этой окружности соответствует всей левой половине p-плоскости.
Таким образом, выполнимость условия (1) обеспечивается, если 
, где 
- корни характеристического уравнения системы.
Формулировка критерия:
«Для того чтобы цифровая САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы модули корней характеристического уравнения системы были меньше 1».
Система находится на апериодической границе устойчивости, если в её характеристическом уравнении
a 0zn + a 1zn-1 + …+ a n = 0
имеется корень 
, а остальные корни располагаются внутри круга единичного радиуса. В этом случае переходная составляющая решения разностного уравнения с течением времени стремится к значению 
.
|
|
|
Если в характеристическом уравнении имеется пара комплексных сопряженных корней, расположенных на окружности единичного радиуса, то имеет место колебательная граница устойчивости. В этом случае с течением времени в системе устанавливаются незатухающие периодические колебания. Вещественная часть корней 
может быть положительной, отрицательной или нулевой.
Типичной для дискретных систем является граница устойчивости третьего типа, которой соответствует наличие в характеристическом уравнении корня 
.
