2015-02-18
2123
В предыдущем разделе показано, что для расчета переходного процесса следует решить дифференциальное уравнение, для чего необходимо знать начальные условия и установившееся значение искомой величины. Поскольку переменными состояния, относительно которых составляются уравнения, являются ток в индуктивности iL (t) и напряжение на емкости uC (t), то нахождение начальных и установившихся их значений связано с расчетом электрической цепи известными методами в установившихся режимах до и после коммутации. Действительно, согласно законам коммутации переменные состояния в момент t +0 сохраняют свои значения, которые они имели в момент t −0, т.е. значения, которые соответствуют установившемуся режиму до коммутации.
Рассмотрим простейшие цепи первого и второго порядка и проведем расчет начальных и установившихся значений переменных состояния.
1. Цепи первого порядка
На рис. 6.1 представлены цепи первого порядка, содержащие активное сопротивление R, индуктивность L (а) и емкость С (б). Ключ К имеет два положения: 1 − цепь подключена к источнику E, и 2 − цепь отключена от источника и замкнута накоротко перемычкой. Процесс коммутации заключается в переключении ключа К из одного положения в другое. Напомним, что переключение ключа происходит мгновенно, и никаких процессов дугообразования не происходит.
|
|
|
а)
б)
Рис. 6.1. Цепи первого порядка: а) активно-индуктивная цепь;
б) активно-емкостная цепь
Рассмотрим коммутацию при переключении К из положения 2 в положение 1.
До коммутации цепи замкнуты накоротко. Очевидно, что токи в цепях отсутствуют, и напряжения на всех элементах цепей равны нулю. Поэтому начальные значения тока iL +0 в индуктивности и напряжения uC+ 0 на емкости (независимые начальные условия) равны нулю: iL +0= iL −0 =0 и uC +0= uC −0 =0.
При переключении К в положение 1 в цепях начинается переходный процесс, заканчивающийся установившимся режимом, который может быть рассчитан любым известным методом расчета цепей постоянного тока. В данном случае цепи одноконтурные, и для них уравнения ЗНК в установившемся режиме имеют вид:
− цепь рис. 6.1,а: ILR = E, (6.12)
т.к. напряжение на индуктивности в установившемся режиме равно нулю;
− цепь рис. 6.1,б: UC=E, (6.13)
т.к. ток в цепи с емкостью в установившемся режиме равен нулю.
Соответственно установившиеся значения переменных состояния из (6.12) и (6.13) равны:
IL уст= IL=E/R; UC уст = UC=E.
Рассмотрим коммутацию при переключении К из положения 1 в положение 2.
До коммутации цепи замкнуты на источник. Поэтому установившийся режим до коммутации описывается уравнениями (6.12) и (6.13). Тогда можно записать для независимых начальных условий:
|
|
|
iL +0= iL −0= IL=E/R; uC +0= uC −0 = UC=E.
После переключения К в положение 2 начинается переходный процесс, который заканчивается установившимся режимом. Так как после коммутации цепи оказались замкнутыми накоротко, то очевидно, что установившиеся значения тока в индуктивности и напряжения на емкости равны нулю:
IL уст= 0; UC уст = 0.
Для наглядности сведем полученные результаты расчетов в табл. 6.2.
Начальные условия и параметры установившихся режимов Таблица 6.2
| Схема | Коммутация ключа К | Независимые начальные условия | Установившийся режим |
| Рис.6.1,а | 2→1 | iL +0 = 0 | IL уст= E/R |
| 1→2 | iL +0 = E/R | IL уст= 0 | |
| Рис.6.1,б | 2→1 | uC +0= 0 | UC уст = E |
| 1→2 | uC +0= E | UC уст = 0 |
2. Цепи второго порядка
На рис. 6.2 представлена цепь второго порядка, содержащая активное сопротивление R, индуктивность L и емкость С. Ключ К имеет два положения: 1 − цепь подключена к источнику E, и 2 − цепь отключена от источника и замкнута накоротко перемычкой. Процесс коммутации заключается в переключении ключа К из одного положения в другое.
Рис. 6.2. Цепь второго порядка
Данная цепь описывается дифференциальным уравнением второго порядка. Поэтому для определения произвольных постоянных необходимо знание начальных значений переменных состояния и их производных.
Ток и напряжение в индуктивности и емкости связаны соотношениями:
, (6.14)
поэтому начальные значения производных 
можно найти из (6.14) через напряжение uL+ 0 на индуктивности и ток iC +0 в емкости в момент времени t=t +0 . Эти напряжения и ток называют зависимыми начальными условиями, поскольку они зависят от характера коммутации и, как правило, не равны таковым до коммутации.
Поэтому при определении начальных условий в цепи второго порядка будем определять как независимые, так и зависимые начальные условия.
Рассмотрим коммутацию при переключении К из положения 2 в положение 1.
До коммутации (переключатель К в положении 2) цепь замкнута накоротко перемычкой. Поэтому ток и напряжения на всех элементах цепи равны нулю. Соответственно, независимые начальные условия
iL +0= iL −0 =0 и uC +0= uC −0 =0. (6.15)
Для расчета зависимых начальных условий необходимо рассмотреть цепь после коммутации в момент времени t=t +0 (рис. 6.3). На схеме обозначены мгновенные значения токов и напряжений на элементах в данный момент времени. Поскольку рассматриваются мгновенные значения тока и напряжений, то они обозначены прописными буквами.
Рис. 6.3. Цепь после коммутации
Уравнения ЗНК для цепи имеют вид:
uR+ 0+ uL+ 0+ uC+ 0= E. (6.16)
В соответствии с (6.15) ток в цепи после коммутации i +0= iL +0= 0, поэтому падение напряжения на активном сопротивлении uR+ 0= 0. Кроме того, uC+ 0= 0.
Тогда из уравнения (6.16) найдем:
uL+ 0= E.
Физически это означает, что в момент коммутации в соответствии с законом электромагнитной индукции в индуктивности возникает напряжение самоиндукции (см. раздел 4.1.1 настоящего пособия).
Соответственно, зависимые начальные условия:
uL+ 0= E, iС +0= 0.
В установившемся режиме после коммутации ток в цепи не течет, поскольку в цепи имеется емкость, поэтому падения напряжения на активном сопротивлении и индуктивности равны нулю, а напряжение на емкости равно ЭДС Е. Тогда в установившемся режиме имеем:
IL уст= 0; UC уст = Е.
Рассмотрим коммутацию при переключении К из положения 1 в положение 2.
До коммутации (переключатель К в положении 1) цепь подключена к источнику E. В установившемся режиме ток через емкость не течет, поэтому до коммутации падения напряжения на активном сопротивлении и на индуктивности равны нулю, а напряжение на емкости равно ЭДС E. Тогда независимые начальные условия примут вид:
uС+ 0= E, iL +0= 0.
Для расчета зависимых начальных условий рассмотрим цепь после коммутации в момент времени t=t +0 (рис. 6.4).
|
|
|
Рис. 6.4. Цепь после коммутации
В момент коммутации емкость была заряжена до величины ЭДС Е. При замыкании ключа К емкость начнет разряд, а в индуктивности в соответствии с законом электромагнитной индукции возникнет напряжение uL+ 0. Найдем его.
По закону коммутации ток в цепи в момент времени t=t +0 равен нулю, поэтому напряжение на активном сопротивлении и ток через емкость также равны нулю. С учетом сказанного и в соответствии с ЗНК находим:
uL+ 0− uС+ 0= 0, или uL+ 0 = uС+ 0 = Е.
Соответственно, зависимые начальные условия для данной схемы с учетом принятых положительных направлений запишутся в виде:
uL+ 0= Е, iС +0= 0.
В установившемся режиме после коммутации в схеме рис. 6.4 емкость полностью разряжена, тока в цепи нет, и падения напряжения на элементах цепи равны нулю. Поэтому установившиеся значения переменных состояния после коммутации равны нулю:
IL уст= 0; UC уст = 0.
Для наглядности сведем полученные результаты расчетов в табл. 6.3.
Начальные условия и параметры установившихся режимов Таблица 6.3
| Коммутация ключа К | Независимые начальные условия | Зависимые начальные условия | Установившийся режим |
| 2→1 | iL +0 = 0, uC +0 = 0 | uL+ 0= E, iС +0= 0 | IL уст= 0; UC уст = Е |
| 1→2 | iL +0 = 0, uС+ 0,= E | uL+ 0= Е, iС +0= 0 | IL уст= 0; UC уст = 0 |
6.1.4. Расчет переходного процесса
